Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini - Capítulo 3.10 - Ex. 11

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Mostre que:

d d x x 2 x + 1 3 1 2 x - 1 x 3 0 x - 2 = 2 x 1 0 1 2 x - 1 x 3 0 x - 2 + x 2 x + 1 3 0 2 3 x 2 0 x - 2 + x 2 x + 1 3 1 2 x - 1 x 3 0 1 0

Observe atentamente a igualdade acima e enuncia a propriedade que ela ilustra.

Passo 1

Bom, primeiramente a gente vai calcular o determinante antes da igualdade e diferenciá-lo. Vamos calculá-lo usando a regra de Sarrus, veja:

x 2 x + 1 3 1 2 x - 1 x 3 0 x - 2 = x 2 2 x - 1 - 2 + 3 x - - 2 x - 2 + x 6

= - x 6 - 4 x 3 + 2 x 2 + 5 x + 2

Agora é só a agente lembrar do Cálculo I e derivar esse polinômio, do que a gente tem:

- 6 x 5 - 12 x 2 + 4 x + 5

Passo 2

Agora é só calcular os outros determinantes e soma-los para comparar. Usando Sarrus, vem:

2 x 1 0 1 2 x - 1 x 3 0 x - 2 = 2 x 2 x - 1 - 2 - ( - 2 + 2 x ( x ) ( x 3 ) )

= - 2 x 5 - 8 x 2 + 4 x + 2

Usando Laplace na primeira coluna do segundo determinante:

x 2 x + 1 3 0 2 3 x 2 0 x - 2 = x 2 2 3 x 2 x - 2 = x 2 - 4 - 3 x 3

= - 4 x 2 - 3 x 5

Usando Laplace na terceira linha do terceiro determinante:

x 2 x + 1 3 1 2 x - 1 x 3 0 1 0 = - 1 5 ∙ 1 ∙ x 2 3 1 x 3 = - x 5 - 3 = - x 5 + 3

Passo 3

Vamos somar os determinantes:

- 2 x 5 - 8 x 2 + 4 x + 2 - 4 x 2 - 3 x 5 - x 5 + 3 = - 6 x 5 - 12 x 2 + 4 x + 5

Passo 4

Observe que derivar o determinante resultou no mesmo que derivar, separadamente, cada linha do determinante e somar os resultados dos determinantes.

Podemos enunciar isso da seguinte forma:

"A derivada do determinante é igual à soma dos determinantes obtidos a partir desse por meio da derivação linha a linha.”

Resposta

Demonstração.

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