Enunciado

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Mostre que { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 } é uma base de M 22 e expresse A como uma combinação linear dos vetores da base.

A 1 = 1 1 1 1 , A 2 = 0 1 1 1 , A 3 = 0 0 1 1 , A 4 = 0 0 0 1 , A = 1 0 1 0

Passo 1

Queremos mostrar que o conjunto { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 } é uma base para as matrizes dois por dois, para isso devemos lembrar quais as condições que devem ser satisfeitas para um determinado conjunto ser base e elas são

i O conjunto deve ser linearmente independente, ou seja, não podemos conseguir escrever nenhum elemento do conjunto como combinação linear um do outro.

i i O conjunto deve gerar todo o meu espaço.

OK, muito bonita toda essa teoria mas e na prática como fazemos? Pois bem, na prática são apenas duas continhas que devemos fazer, a primeira para mostrar que são independentes linearmente

c 1 ⋅ A 1 + c 2 ⋅ A 2 + c 3 ⋅ A 3 + c 4 ⋅ A 4 = 0       1

Onde c n são constantes, essa equação só pode admitir solução que trivial. Para provar que essas matrizes geram M 22 devemos mostrar que uma matriz 2 × 2 pode ser escrita como combinação linear das matrizes do nosso conjunto.

Passo 2

Sendo assim, vamos mostrar primeiramente a independência linear resolvendo 1 então teremos

c 1 ⋅ A 1 + c 2 ⋅ A 2 + c 3 ⋅ A 3 + c 4 ⋅ A 4 = 0

c 1 ⋅ 1 1 1 1 + c 2 ⋅ 0 1 1 1 + c 3 ⋅ 0 0 1 1 + c 4 ⋅ 0 0 0 1 = 0 0 0 0

c 1 c 1 c 1 c 1 + 0 c 2 c 2 c 2 + 0 0 c 3 c 3 + 0 0 0 c 4 = 0 0 0 0

Assim, conseguimos extrair o seguinte sistema linear

c 1 = 0 c 1 + c 2 = 0 c 1 + c 2 + c 3 = 0 c 1 + c 2 + c 3 + c 4 = 0 → c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = 0

Estamos indo bem, primeira conta está batendo, vamos dar prosseguimento.

Passo 3

Agora vamos mostrar que nosso conjunto consegue gerar todo o espaço de M 22 tomando uma matriz genérica fazendo

c 1 c 1 c 1 c 1 + 0 c 2 c 2 c 2 + 0 0 c 3 c 3 + 0 0 0 c 4 = a b c d  

c 1 = a c 1 + c 2 = b c 1 + c 2 + c 3 = c c 1 + c 2 + c 3 + c 4 = d → c 1 = a ,   c 2 = b - a ,   c 3 = c - b , c 4 = d - c

Logo, conseguimos escrever qualquer matriz utilizando qualquer matriz como combinação linear do nosso conjunto.

Passo 4

Finalmente, para concluirmos o exercício vamos escrever a matriz utilizando o nosso conjunto. Assim, teremos

A = 1 0 1 0

1 0 1 0 = 1 1 1 1 - 0 1 1 1 + 0 0 1 1 - 0 0 0 1    

Ou seja, podemos escrever A como sendo

A = A 1 - A 2 + A 3 - A 4

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