Enunciado

Prove que R^(oo) tem dimensão infinita.

Passo 1

Para provarmos o que o exercício nos pede vamos utilizar a demonstração por absurdo e no que ela consiste? Vamos fazer uma suposição inicial contrária ao que queremos provar com o objetivo de no meio da conta encontrarmos um problema que resulte da nossa suposição inicial ser verdadeira o que prova por contradição o que desejamos. Assim, vamos assumir inicialmente que

dim R^(oo) = n , n < oo

olhamos para e_i = ( 0,0 , 0 , ... , 0,1 , 0 , ... , 0 elemento em R^(oo) onde 1 está localizado em um desses i - é s i m o s termos, então

sum_(i = 1)^(n + 1) a_i * e_i = 0

-> ( a_1 * e_1 + a_2 * e_2 + ... + a_i * e_i + a_n + 1 * e_n + 1 = 0

-> a_i = 0 , p a r a t o d o i

-> dim R^(oo) > n + 1

O que contradiz nossa suposição inicial, logo, a dimensão de R^(oo) é infinita.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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