Enunciado

a. Mostre que se A = a   b   c   d   , então d e t d e t   ( A )   = 0 se, e somente se, uma linha é múltiplo escalar da outra. E se A for uma matriz n × n ?

Passo 1

Fala galerinha, tudo bem?

Veja que esse exercício é dividido em dois momentos, inicialmente com A sendo uma matriz 2 × 2 e depois, A sendo uma matriz n × n .

Temos que o exercício é um se, e somente se, ou seja, temos que provar a “ida” e a “volta”.

Bora lá então...

Provando a “ida”.

⇒ ) Suponha que A = a   b   c   d   e d e t d e t   A   = 0 , ou seja, d e t d e t   A   = d e t d e t   a   b   c   d     = a d - b c = 0 ⇒ a d = b c , em outras palavras isso ocorre quando uma linha é múltiplo de outra, ou seja, possui um fator de proporcionalidade ( α ∈ R ).

Acabou?

Não!!!

Passo 2

Vamos mostrar que a “volta” também é verdade.

⇐ )   Suponha que a segunda linha seja múltipla da primeira linha, ou seja, c   d   = λ ( a   b   ) , desse modo, d e t d e t   A   = d e t d e t   a   b   c   d     = d e t d e t   a   b   λ a   λ b   = a λ b - b λ a = λ a b - b a = λ 0 = 0   .

Passo 3

Mas, agora, o que acontece se A é uma matriz n × n ?

Para nos ajudar iremos usar as seguintes propriedades:

Propriedade 1: Se uma matriz A n × n tem uma linha ou coluna nula, então d e t d e t   ( A )   = 0 .

Propriedade 2: Se B é uma matriz que resulta a partir de A   adicionando-se à linha r de A um múltiplo α não nulo de outra linha s , então d e t d e t   B = d e t d e t   ( A )     .

Considere

A = a 11   a 12   ⋯   a 1 n   a 21   a 22   ⋯   a 2 n   ⋮   ⋮   ⋱   ⋮   a r 1   a r 2   ⋯   a r n   ⋮   ⋮   ⋱   ⋮   a s 1   a s 2   ⋯   a s n   ⋮   ⋮   ⋱   ⋮   a n 1   a n 2   ⋯   a n n  

Suponha que a linha r de A é proporcional a linha s , ou seja, l r = α l s , α ∈ R . Podemos adicionar à linha r de A o múltiplo - α da linha s , obtendo uma matriz B . Dessa forma, a linha r de B será nula e, pela propriedade 1, nesse caso, d e t d e t   B = 0   .

Mas, como a matriz B   foi obtida da matriz A   apenas adicionando-se à linha r de A um múltiplo da linha s , pela propriedade 2, temos que d e t d e t   ( B )   = d e t d e t   A = 0   .

Resposta

Vetores, Matrizes e Geometria Analítica-Reginaldo, Capítulo 2, seção 2, exercício 20

Enunciado

b. Mostre que se uma linha A i de uma matriz A = a i j n × n é tal que A i = α A k + β A l , para α ,   β escalares e i ≠ k , l , então d e t d e t   A = 0   .

Passo 1

Considere a matriz A = a i j n × n tal que a linha i de A seja escrita como A i = α A k + β A l , α ,   β ∈   R e i ≠ k , l .

Galerinha, perceba que a linha i da matriz A está sendo escrita como a soma de um fator proporcionalidade da linha k com um fator proporcionalidade da linha l , ou seja, a linha i é escrita como combinação linear de outras duas linhas.

Passo 2

Agora, se adicionarmos à linha i de A a soma dos fatores proporcionais de - α e - β das linhas k e l respectivamente, então obtemos a matriz B .

Note que a linha i de B será nula e, pela propriedade 1, obtemos que d e t d e t   B = 0   .

Como a matriz B foi obtida da matriz A apenas adicionando-se à linha i de A a soma do fator proporcionalidade da linha k e o fator proporcionalidade da linha l , obtemos que, d e t d e t   B = d e t d e t   A = 0 .    

Resposta

Vetores, Matrizes e Geometria Analítica-Reginaldo, Capítulo 2, seção 2, exercício 20

Enunciado

c. Mostre que se uma linha A i de uma matriz A = a i j n × n é tal que A i = ∑ k ≠ i α k A k , para α 1 ,   ⋯ ,   α k escalares, então d e t d e t   A = 0   .

Passo 1

Considere a matriz A = a i j n × n tal que a i - é s i m a linha de A seja escrita como A i = ∑ k ≠ i α k A k , α k ∈   R ,   k ∈ N .

Galerinha, perceba que a linha i da matriz A está sendo escrita como a soma dos fatores proporcionalidades das linhas A k .

Passo 2

Podemos adicionar à linha i de A a soma dos fatores proporcionais de - α k das linhas A k , com k ≠ i , desse modo, obtemos a matriz B .

Observe que a linha i de B será nula e, pela propriedade 1, obtemos que d e t d e t   B = 0   .

Como a matriz B foi obtida da matriz A apenas adicionando-se à linha i de A a soma dos fatores proporcionalidades das linhas A k ,com k ≠ i , obtemos que, d e t d e t   B = d e t d e t   A = 0 .    

Espero ter ajudado!! 😉

Bons estudos.

Resposta

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