Enunciado

Mostre que se V é autovetor de A , então V é autovetor de A k . Com qual autovalor?

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo beleza? Então, bora lá!

Bom, se V é autovetor de A com autovalor λ , então

A V = λ V

Se a gente aplicar A novamente, teremos

A ( A V ) = A 2 V = λ A V = λ 2 V

Ou seja, quando aplicamos A duas vezes em V , obtemos λ 2 como autovalor de A 2 . Você consegue notar que vamos ter algo do tipo A k V = λ k V ? A resposta é essa mesmo, mas vamos demonstrar no próximo passo.

Passo 2

Seguindo a indução matemática, vamos supor que, para k - 1 , temos A k - 1 V = λ k - 1 V . Agora, vamos aplicar A novamente em ambos os lados

A ( A k - 1 V ) = λ k - 1 A V ⇒ A k V = λ k V .

Então, então V é autovetor de A k com autovalor λ k , sacou? Muito bem! Até a próxima então!

Resposta

Veja a resolução acima.

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