Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 9
Encontre uma matriz que diagonaliza ortogonalmente e determine .
Passo 1
Ao nos depararmos com uma matriz grande como essa já dá um medinho, né? Mas nada de ficar assustado vamos destrinchar esse monstro aqui. Primeiramente vamos recorrer à equação característica de que irá nos fornecer os autovalores da respectiva matriz, essa equação é dada no teorema e descrita como
Assim, podemos escrever
Passo 2
Pois bem, agora podemos escrever a equação matricial
Que irá nos fornecer os autovetores correspondentes a cada autovalor dado. Dessa forma, teremos
Para os nossos primeiros autovalores vamos ter o seguinte sistema
Façamos as seguintes operações, na ordem mostrada, e vamos obter
Dessa forma, vamos encontrar autovetores que serão dados por
Passo 3
Agora, para os nossos últimos autovalores vamos ter o seguinte sistema
Façamos as seguintes operações, na ordem mostrada, e vamos obter
Dessa forma, vamos encontrar autovetores que serão dados por
Passo 4
Pois bem, agora para encontrarmos a matriz que diagonaliza nossa matriz basta normalizarmos cada uns dos vetores (dividindo cada elemento do vetor pela sua norma) encontrados acima. Dessa forma vamos achar
Pois bem, agora que encontramos a matriz que diagonaliza nossa matriz fica bastante simples encontrarmos quem é a matriz pois ela será uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal serão os autovalores encontrados nos passos anteriores. Então, temos
Finalmente acabamos com esse monstro que era essa questão.
Resposta
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