Enunciado

Encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P - 1 A P .

A = - 7 24 0 0 24 7 0 0 0 0 - 7 24 0 0 24 7

Passo 1

Ao nos depararmos com uma matriz grande como essa já dá um medinho, né? Mas nada de ficar assustado vamos destrinchar esse monstro aqui. Primeiramente vamos recorrer à equação característica de A que irá nos fornecer os autovalores da respectiva matriz, essa equação é dada no teorema 5.1 . 1 e descrita como

det ⁡ λ I - A = 0

Assim, podemos escrever

det ⁡ λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ - - 7 24 0 0 24 7 0 0 0 0 - 7 24 0 0 24 7 = 0

→ λ + 25 λ - 25 2 = 0 → λ 1,2 = - 25 , λ 3,4 = 25

Passo 2

Pois bem, agora podemos escrever a equação matricial

λ I - A ⋅ x = 0

Que irá nos fornecer os autovetores correspondentes a cada autovalor dado. Dessa forma, teremos

λ + 7 - 24 0 0 - 24 λ - 7 0 0 0 0 λ + 7 - 24 0 0 - 24 λ - 7 ⋅ x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Para os nossos primeiros autovalores λ 1,2 = - 25 vamos ter o seguinte sistema

- 18 - 24 0 0 - 24 - 32 0 0 0 0 - 18 - 24 0 0 - 24 - 32 ⋅ x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Façamos as seguintes operações, na ordem mostrada, e vamos obter

1   T r o c a r   L 1   c o m   L 2 ,   L 2 - 3 4 ⋅ L 1 → L 2

2   T r o c a r   L 3   c o m   L 4 ,   L 4 - 3 4 ⋅ L 3 → L 4

3 - 1 24 ⋅ L 3 → L 3 ,   t r o c a r   L 2   c o m   L 3 ,   - 1 24 ⋅ L 1 → L 1

1 4 3 0 0 0 0 1 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋅ x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

x 1 + 4 3 ⋅ x 2 = 0 → x 1 = - 4 3 ⋅ x 2

x 3 + 4 3 ⋅ x 4 = 0 → x 3 = - 4 3 ⋅ x 4

Dessa forma, vamos encontrar 2 autovetores que serão dados por

u 1 = - 4 3 1 0 0 ,     u 2 = 0 0 - 4 3 1

Passo 3

Agora, para os nossos últimos autovalores λ 3,4 = 25 vamos ter o seguinte sistema

32 - 24 0 0 - 24 18 0 0 0 0 32 - 24 0 0 - 24 18 ⋅ x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Façamos as seguintes operações, na ordem mostrada, e vamos obter

1   L 2 + 3 4 ⋅ L 1 → L 2 ,   L 4 + 3 4 ⋅ L 3 → L 4

2   T r o c a r   L 2   c o m   L 3 ,     L 3 32 → L 3 ,     L 1 32 → L 1

1 - 4 3 0 0 0 0 1 - 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋅ x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

x 1 - 4 3 ⋅ x 2 = 0 → x 1 = 4 3 ⋅ x 2

x 3 - 4 3 ⋅ x 4 = 0 → x 3 = 4 3 ⋅ x 4

Dessa forma, vamos encontrar 2 autovetores que serão dados por

u 3 = 4 3 1 0 0 ,     u 4 = 0 0 4 3 1

Passo 4

Pois bem, agora para encontrarmos a matriz P que diagonaliza nossa matriz basta normalizarmos cada uns dos vetores u ' s (dividindo cada elemento do vetor pela sua norma) encontrados acima. Dessa forma vamos achar

P = - 4 5 0 4 5 0 3 5 0 3 5 0 0 - 4 5 0 4 5 0 3 5 0 3 5

Pois bem, agora que encontramos a matriz P que diagonaliza nossa matriz A fica bastante simples encontrarmos quem é a matriz P - 1 A P pois ela será uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal serão os autovalores encontrados nos passos anteriores. Então, temos

P - 1 A P = - 25 0 0 0 0 - 25 0 0 0 0 25 0 0 0 0 25

Finalmente acabamos com esse monstro que era essa questão.

Resposta

P = - 4 5 0 4 5 0 3 5 0 3 5 0 0 - 4 5 0 4 5 0 3 5 0 3 5 ,     P - 1 A P = - 25 0 0 0 0 - 25 0 0 0 0 25 0 0 0 0 25

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Sabendo que V 1 = - 4 ,- 4 ,- 1 ,V 2 = 5 ,4 ,1 e V 3 = 5 ,3 ,1 são autovetores da matriz A = - 1 3 - 5 6 20 3 - 2 3 - 1 6 16 3 - 1 6 - 1 6 11 6 b) A matriz é diagonalizável? Justifique
Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis:b) 1 0 - 2 1
Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor.b) 2 3 0 0 1 0 0 0 2
Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis: 1 4 1 - 2
Ache para cada matriz A, se possível, uma matriz não-singular P tal que P - 1 A P seja diagonal:a) 1 1 2 0 1 0 0 1 3