Enunciado

Mostre que o determinante de Vandermonde é dado por

V n = det ⁡ 1 x 1 x 1 2 … x 1 n - 1 1 x 2 x 2 2 … x 2 n - 1 ⋮ 1 ⋮ x n ⋮ x n 2 ⋮ … x n n - 1 = ∏ i > j ( x i - x j )

A expressão à direita significa o produto de todos os termos x i - x j , tais que i>j, j = 1, ..., n.

Passo 1

E aí, aluno?! Vamos para mais uma questão!

A matriz de Vandermonde é tal que

1 x 1 x 1 2 … x 1 n - 1 1 x 2 x 2 2 … x 2 n - 1 ⋮ 1 ⋮ x n ⋮ x n 2 ⋮ … x n n - 1

Aplicando uma eliminação na primeira coluna dessa matriz:

1 x 1 x 1 2 … x 1 n - 1 0 x 2 x 2 2 … x 2 n - 1 ⋮ 0 ⋮ x n ⋮ x n 2 ⋮ … x n n - 1

Passo 2

Agora, com base na eliminação de colunas:

Temos que

C n = x 1 n - 1 x 2 n - 1 ⋮ x n n - 1

E, ainda,

C n - 1 = x 1 n - 2 x 2 n - 2 - x 1 n - 2 ⋮ x n n - 2 - x 1 n - 2

Realizando a operação

C n = C n - x 1 C n - 1 = 0 x 2 n - 2 ( x 2 - x 1 ) ⋮ x n n - 2 ( x n - x 1 )

Podemos, então, repetir esse processo até a segunda coluna, de modo que:

C 2 = C 2 - a 1 C n - 1 = 0 ( x 2 - x 1 ) ⋮ ( x n - x 1 )

Passo 3

Realizando a substituição na matriz dada inicialmente, obtemos:

1 0 …                                 0                       0 x 2 - x 1 … x 2 n - 2 ( x 2 - x 1 ) ⋮ 0 ⋮ x n - x 1 ⋮ … ⋮ x n n - 2 ( x n - x 1 )

Dessa maneira, aplicando o determinante:

det ⁡ ( V ) = x 2 - x 1 … x 2 - x 1 det ⁡ 1 0 …         0         0 1 … x 2 n - 2 ⋮ 0 ⋮ 1 ⋮ … ⋮ x n n - 2

Que pode ser reescrito como

det ⁡ ( V ) = ∏ i > j ( x i - x j )

Resposta

Demonstração.

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Sejam A e P matrizes nxn, sendo P invertível. Mostre que det ⁡ P - 1 A P = det ⁡ ( A ) .
Sejam A, B e D matrizes, pxp, px(n-p) e (n-p)x(n-p), respectivamente. Mostre que det ⁡ A B 0 D = det ⁡ A det ⁡ ( D )
b) Mostre que se uma linha A i de uma matriz A = ( a i j ) n x n é tal que A i =α A k + β A l , para α e β escalares e i ≠ k ,l , então det(A) = 0.
Mostre que se uma linha A i de uma matriz A = ( a i j ) n x n é tal que A i = ∑ k ≠ i α k A k , para α 1 , … ,α k escalares, então det(A) = 0.
Mostre que se uma matriz A =( a i j ) n x n é triangular superior, (isto é, os elementos situados abaixo da diagonal são iguais a zero) então det ⁡ ( A ) =a 11 a 22 … a n n .