Enunciado

Encontre bases dos autoespaços das matrizes do Exercício 9.

Passo 1

Para encontramos os autoespaços das matrizes do exercício 9, teremos que aplicar a seguinte propriedade abaixo, e teremos que fazer isso para cada um dos autovalores encontrados. Iremos que começar com a matriz da letra A da questão 6, e depois, iremos seguirmos os mesmos passos para as outras.

A - λ I x = 0

Agora temos que arrumar esta igualdade de forma a corresponder com cada item do exercício 6, nesse primeiro caso teremos,

0 - λ 0 1 0 - λ 2                       0 1                       0 0                 1 0                   0 - 2 - λ 0 0 1 - λ x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Para λ = 1 ,

- 1 0 1 - 1 2       0 1       0 0 1 0 0 - 3 0 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Reescrevendo na forma de equação temos então,

- x 1 + 2 x 3 = 0 x 1 - x 2 + x 3 = 0 x 2 - 3 x 3 = 0

Passo 2

Agora, teremos que resolver o sistema para encontrarmos nossa resposta. Aplicando qualquer tipo de solução de sistemas, encontraremos o seguinte resultado,

x 4 = 0

x 1 = 2 x 3

x 2 = 3 x 3

Passo 3

Agora que sabemos como os elementos do vetor x se relacionam, podemos escrevê-lo da seguinte forma,

2 x 3 3 x 3 x 3 0

Resposta

Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor λ = 1 é,

2 3 1 0

Terminando essa etapa, teremos que repetir todo o processo acima para os outros autovalores para finalizarmos a questão.

Para λ = 2 ,

- 2 0 1 - 2 2       0 1       0 0 1 0 0 - 4 0 0 - 1 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Reescrevendo na forma de equação temos então,

- 2 x 1 + 2 x 3 = 0 x 1 - 2 x 2 + x 3 = 0 x 2 - 4 x 3 = 0 - x 4 = 0

Resolvendo o sistema,

x 4 = 0

x 1 = x 3

x 2 = 4 x 3

Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor λ = 2 é,

1 4 1 0

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