Enunciado

Mostre que se x e y forem quaisquer vetores num espaço com produto interno e c um escalar qualquer, então

c x + y 2 = c 2 x 2 + 2 c x , y + y 2

Passo 1

Olá, como estás?

Nessa questão a gente basicamente vai fazer manipulações até chegar ao formato pedido... então vai logo aquecendo os neurônios pra gente começar.

Passo 2

Vamos colocar x e y como produto interno e c um escalar, e desenvolver esse produto até chegar nas condições desejadas.

c x + y 2 = c x → + y → , c x → + y →

= c x → + y → , c x → + c x → + y → ,   y →   ⃗  

= c x → , c x → + y → , c x → + c x → , y → + y → , y →

= c x → 2 + c x → , y → + c x → , y → + y → 2

Como c é constante ele sai.

c x + y 2 = c 2 x 2 + 2 c x → , y → + y → 2

E fim...

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Prove: se u , v for um produto euclidiano de R n e se A for uma matriz n × n , então u , A v = A T u . v [Sugestão: use o fato de que u , v = u . v = v T u .]
Use a desigualdade Cauchy-Schwarz para mostrar que a 1 + a 2 + … + a n 1 a 1 + 1 a 2 + … + 1 a n ≤ n 2 Quaisquer que sejam os números reais positivos a 1 ,a 2 , … , a n .
Suponha que R 4 tenha o produto interno euclidiano. Encontre um vetor em R 4 que seja ortogonal a u 1 → = 1 ,0 ,0 ,0 e u 4 → = 0 ,0 ,0 ,1 e faça ângulos iguais com u 2 → = 0 ,1 ,0 ,0 e u 3 → = 0 ,0 ,1
Suponha que R 4 tenha o produto interno euclidiano. Encontre um vetor x → = x 1 ,x 2 , x 3 ,x 4 que seja ortogonal aos vetores u 1 → e u 4 → dados na parte (a) e tal que o cosseno do ângulo entre x →