Enunciado

Suponha que R 4 tenha o produto interno euclidiano. Encontre um vetor em R 4 que seja ortogonal a u 1 → = 1 ,   0 ,   0 ,   0   e u 4 → = 0 ,   0 ,   0 ,   1 e faça ângulos iguais com u 2 → = 0 ,   1 ,   0 ,   0 e u 3 → = 0 ,   0 ,   1 ,   0 .

Passo 1

Vamos começar tomando um vetor genérico no R 4   v → = v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 .

Como os vetores   u n → são vetores na base canônica de R 4 , então:

v → , u 1 → = v 1 v → , u 2 → = v 2 v → , u 3 → = v 3 v → , u 4 → = v 4

Passo 2

O enunciado pede que o vetor v → seja ortogonal a u 1 → = 1 ,   0 ,   0 ,   0   e u 4 → = 0 ,   0 ,   0 ,   1 . Então,

v → , u 1 → = 0 e v → , u 4 → = 0 . Assim, v 1 = 0 e v 4 = 0

Passo 3

Agora, temos que achar ângulos que satisfazem cos ⁡ θ = u → , v → u → v → uma vez que

v → = 0 ,   v 2 ,   v 3 ,   0

Mas, se os ângulos devem ser iguais com u 2 → = 0 ,   1 ,   0 ,   0 e u 3 → = 0 ,   0 ,   1 ,   0 , as coordenadas v 2 e v 3 devem ser iguais e diferentes de zero. Pois v → ≠ 0 .

Assim, v 2 = v 3 = α     ∀     α ≠ 0

Resposta

v → = 0 ,   α ,   α ,   0

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