Enunciado

Calcule a distância entre as retas r e s .

(a) r : X = 2,1 , 0 + λ 1 , - 1,1                     s : x + y + z = 2 x - y - 1 = 0

(b) r : ( x + 4 ) / 3 = y / 4 = z + 5 / ( - 2 )             s : ( 21 , - 5,2 ) + λ ( 6 , - 4 , - 1 )

(c) r : y = 3 z - 2 = 3 x + 1                       s :   3 x - 2 z + 3 = 0 = y - z - 2

(d) r : x - 1 / ( - 2 )   = 2 y = z                       s : X = 0,0 , 2 + λ ( - 2 ,   1 / 2   , 1 )  

(e) r : x = y - 3 / 2 = z - 2                       s : x - 3 = ( y + 1 ) / 2 = z - 2

Passo 1

Em todos os casos, o melhor caminho é começar encontrando a equação vetorial da reta. Vamos fazer isso para todas antes de começar a calcular as distâncias.

Então no primeiro item, começamos fazendo isso com a reta s . Vamos transformar em um sistema:

x + y + z = 2 x - y - 1 = 0

x + y + z = 0 2 x - y - 1 = 0

Pela segunda equação:

y = 2 x - 1

E substituindo isso na primeira:

x + 2 x - 1 + z = 0

z = 1 - 3 x

Então, se x é uma variável livre:

x = λ y = 2 λ - 1 z = 1 - 3 λ

Escrevendo isso como uma equação vetorial:

X = 0 , - 1,1 + λ 1,2 , - 3

Passo 2

O próximo sistema que precisamos resolver é o da letra (b):

( x + 4 ) / 3 = y / 4 = z + 5 / ( - 2 )

Vamos deixar o y = λ como variável livre, então:

x + 4 3 = λ 4

4 x + 16 = 3 λ

x = 1 4 3 λ - 16 = 3 4 λ - 4

E para o z :

z + 5 - 2 = λ 4

4 z + 20 = - 2 λ

z = - 1 2 λ - 5

Então a nossa equação vetorial é:

r : - 4,0 ,   - 5 + λ 3 4 ,   1   ,   - 1 2

Passo 3

Na letra (c) temos dois sistemas.

Para resolver o primeiro vamos deixar y = λ como variável livre:

y = 3 z - 2 = 3 x + 1

3 z - 2 = λ 3 x + 1 = λ         ⇒           z = 1 3 λ + 2 = 1 3 λ + 2 3 x = 1 3 λ - 1 = 1 3 λ - 1 3        

Então:

r : - 1 3 ,   0   , 2 3 + λ 1 3 , 1 , 1 3

E no segundo:

3 x - 2 z + 3 = 0 = y - z - 2

Vamos deixar z = λ como variável livre:

3 x - 2 λ + 3 = 0 y - λ - 2 = 0

x = 1 3 2 λ - 3 y = λ + 2

Então:

s : - 1 ,   2 ,   0 + λ 2 3 , 1,1

Passo 4

No item (d), a equação que temos para melhorar é:

x - 1 / ( - 2 )   = 2 y = z

Vamos deixar y = λ como variável livre, então:

x - 1 - 2 = 2 λ

x = - 4 λ + 1

E:

z = 2 λ

Então:

r : 1,0 , 0 + λ - 4,1 , 2

Passo 5

No item (e) nós temos duas equações mais uma vez. Começando pela primeira:

r :       x = y - 3 / 2 = z - 2

Usando x = λ como variável livre:

y = 2 λ + 3

z = λ + 2

r : 0 ,   3,2 + λ 1,2 , 1

E na segunda:

s :     x - 3 = ( y + 1 ) / 2 = z - 2

Usando x = λ mais uma vez:

x - 3 = y + 1 2         ⇒         y =   2 λ - 7

z - 2 = x - 3         ⇒         z = λ - 1

Então:

s :       0 , - 7 , - 1 + λ 1,2 , 1

Ok, agora já foram todas as equações.

Passo 6

Vamos resumir tudo que a gente já calculou até aqui. Estamos refazendo o enunciado!

(a) r : X = 2,1 , 0 + λ 1 , - 1,1                   s :   X = 0 , - 1,1 + λ 1,2 , - 3

(b) r : - 4,0 ,   - 5 + λ 3 4 ,   1   ,   - 1 2             s : ( 21 , - 5,2 ) + λ ( 6 , - 4 , - 1 )

(c) r : : - 1 3 ,   0   , 2 3 + λ 1 3 , 1 , 1 3                     s : - 1 ,   2 ,   0 + λ 2 3 , 1,1

(d) r : 1,0 , 0 + λ - 4,1 , 2                       s : X = 0,0 , 2 + λ ( - 2 ,   1 / 2   , 1 )  

(e) r : 0 ,   3,2 + λ 1,2 , 1                     s :       0 , - 7 , - 1 + λ 1,2 , 1

Agora vamos lembrar da fórmula para calcular a distância entre duas retas:

d r , s = A B → ∙ r → × s → r → × s →

Em cada item, a gente vai começar calculando o vetor A B → usando os pontos que estão nas equações vetoriais de cada reta.

E então vamos calcular o produto misto usando essa fórmula aqui:

A B → ∙ r → × s → = A B → 1 A B → 2 A B → 3 r → 1 r → 2 r → 3 s → 1 s → 2 s → 3

E depois o produto vetorial usando essa fórmula:

r → × s → = x ^ y ^ z ^ r → 1 r → 2 r → 3 s → 1 s → 2 s → 3

Beleza, agora vamos resolver uma de cada vez.

Passo 7

No item (a) temos:

r : X = 2,1 , 0 + λ 1 , - 1,1                   s :   X = 0 , - 1,1 + λ 1,2 , - 3

Então:

A B → = 0 , - 1,1 - 2,1 , 0 = - 2 , - 2,1 r → = 1 , - 1,1 s → = 1,2 , - 3

E produto misto é:

A B → ∙ r → × s → = - 2 - 2 1 1 - 1 1 1 2 - 3 = - 7

E o produto vetorial é:

r → × s → = x ^ y ^ z ^ 1 - 1 1 1 2 - 3 = 1,4 , 3

E a norma dessse produto vetorial é:

r → × s → = 1 2 + 4 2 + 3 2 = 26

E então a distância é:

d r , s = A B → ∙ r → × s → r → × s →

d r , s = 7 26

Passo 8

No item (a) temos:

r : - 4,0 ,   - 5 + λ 3 4 ,   1   ,   - 1 2             s : ( 21 , - 5,2 ) + λ ( 6 , - 4 , - 1 )

Então:

A B → = 21 , - 5,2 - - 4,0 , - 5 = 25 , - 5,7 r → = 3 4 ,   1 ,   - 1 2 s → = 6   ,   - 4 ,   - 1

E produto misto é:

A B → ∙ r → × s → = 25 - 5 7 3 / 4 1 - 1 / 2 6 - 4 - 1 = - 507 / 4

E o produto vetorial é:

r → × s → = x ^ y ^ z ^ 3 / 4 1 - 1 / 2 6 - 4 - 1 = - 3 ,   - 9 4 ,   - 9

E a norma dessse produto vetorial é:

r → × s → = - 3 2 + - 9 4 2 + - 9 2 = 39 4

E então a distância é:

d r , s = A B → ∙ r → × s → r → × s →

d r , s = 507 / 4 39 / 4 = 507 39 = 13

Passo 9

No item (c):

r : : - 1 3 ,   0   , 2 3 + λ 1 3 , 1 , 1 3                     s : - 1 ,   2 ,   0 + λ 2 3 , 1,1

Então:

A B → = - 1 ,   2 ,   0 - - 1 3 ,   0 , 2 3 = - 2 3 ,   2 , - 2 3 r → = 1 3 ,   1 , 1 3 s → = 2 3 ,   1 ,   1

E produto misto é:

A B → ∙ r → × s → = - 2 / 3 2 - 2 / 3 1 / 3 1 1 / 3 2 / 3 1 1 = - 4 / 9

E o produto vetorial é:

r → × s → = x ^ y ^ z ^ 1 / 3 1 1 / 3 2 / 3 1 1 = 2 3 ,   - 1 9 ,   - 1 3

E a norma dessse produto vetorial é:

r → × s → = 2 3 2 + - 1 9 2 + - 1 3 2 = 46 9

E então a distância é:

d r , s = A B → ∙ r → × s → r → × s →

d r , s = 4 / 9 46 / 9   = 4 46

Passo 10

No item (d):

r : 1,0 , 0 + λ - 4,1 , 2                       s : X = 0,0 , 2 + λ ( - 2 ,   1 / 2   , 1 )

Então:

A B → = 0,0 , 2 - 1,0 , 0 = - 1,0 , 2 r → = - 4,1 , 2 s → = - 2 ,   1 / 2 ,   1

E produto misto é:

A B → ∙ r → × s → = - 1 0 2 - 4 1 2 - 2 1 / 2 1 = 0

Opa, o produto misto é nulo! Se a gente prestar atenção, vamos ver que as retas são realmente paralelas, então a gente usa outra fórmula para calcular a distância.

d s , r = A B → × r → r →

Agora o produto vetorial é:

A B → × r → = x ^ y ^ z ^ - 1 0 2 - 4 1 2 = - 2 ,   - 6 ,   - 1

Que tem como norma:

A B → × r → = - 2 2 + - 6 2 + - 1 2 = 41

E a norma do vetor r → é:

r → = - 4 2 + 1 2 + 2 2 = 21

E então a distância é:

d s , r = A B → × r → r →

d r , s = 41 21

Passo 11

No item (e):

r : 0 ,   3,2 + λ 1,2 , 1                     s :       0 , - 7 , - 1 + λ 1,2 , 1

Então:

A B → = 0 , - 7 , - 1 - 0,3 , 2 = 0 , - 10 , - 3 r → = 1,2 , 1 s → = 1,21

Aqui os vetores diretores são iguais, mas os pontos iniciais são diferentes. Isso indica que as retas são paralelas, então vamos usar o mesmo método do item anterior:

d s , r = A B → × r → r →

Agora o produto vetorial é:

A B → × r → = x ^ y ^ z ^ 0 - 10 - 3 1 2 1 = - 4 , - 3 ,   10

Que tem como norma:

A B → × r → = - 4 2 + - 3 2 + 10 2 = 5 5

E a norma do vetor r → é:

r → = 1 2 + 2 2 + 1 2 = 6

E então a distância é:

d s , r = A B → × r → r →

d r , s = 5 5 6 = 5 30 6

Resolvido!

Resposta

(a) 7 / 26

(b) 13

(c) 4 / 46

(d) 41 / 21

(e) 5 30 / 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:b) r passa pelos pontos A = ( 1 ,0 ,1 ) e B = ( - 1 ,- 1 ,0 ) e s pelos pontos C = ( 0 ,1 ,- 2 ) e D = ( 1 ,1 ,1 ) .
Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:d) r :x = 1 - t y = 2 + 3 t z = - t e s : eixo dos x
Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:c) r :x = 3 y = 2 e s :x = 1 y = 4
Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:e) r :x = y = z - 2 e s :y = x + 1 z = x - 3
Seja o triângulo A B C de vértices A - 3,1 , 4 ,B - 4 , - 1,0eC ( - 4,3 , 5 ) . Calcular a medida da altura relativa ao lado B C .