Enunciado

Mostre que se A é uma matriz invertível, então A+B e I n + B A - 1 são ambas invertíveis ou ambas não invertíveis.

Passo 1

Vamos para mais uma resolução?!

Vamos começar com a soma matricial:

A + B

Multiplicando isso por A - 1 :

( A + B ) A - 1

E pela distributiva:

A A - 1 + B A - 1

Passo 2

Pelas propriedades matriciais sabemos que se A é uma matriz invertível, então

A A - 1 = I n

Assim, podemos afirmar que:

A A - 1 + B A - 1 = I n + B A - 1

Portanto:

( A + B ) A - 1 = I n + B A - 1

Passo 3

Ainda pelas propriedades matriciais, sabemos que o produto de duas matrizes invertíveis é também invertível. Como nos foi dado que A é uma matriz invertível e, portanto, A - 1 também é invertível, sabemos que o resultado do produto:

( A + B ) A - 1

Será invertível caso (A + B) o seja.

Resposta

Demonstração ao longo dos passos.

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