Enunciado

  1. Mostre que a matriz A = a b c d é invertível se, e somente se, ad – bc 0 e neste caso a inversa é dada por

A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Passo 1

Vamos lá para mais uma resolução!

Primeiro, vamos construir uma matriz aumentada com a matriz A e uma matriz identidade 2x2:

A I = a b c d 1 0 0 1

Realizando a multiplicação por

1 0 - c a 1

1 0 - c a 1 ∙ a b c d 1 0 0 1 = a b 0 a d - b c a 1 0 - c a 1  

Realizando mais algumas multiplicações:

1 0 0 a a d - b c ∙ a b 0 a d - b c a 1 0 - c a 1 = a b 0 1 1 0 - c a d - b c a a d - b c

1 a 0 0 1 ∙ a b 0 1 1 0 - c a d - b c a a d - b c = 1 b a 0 1 1 a 0 - c a d - b c a a d - b c

1 - b a 0 1 ∙ 1 b a 0 1 1 a 0 - c a d - b c a a d - b c = 1 0 0 1 d a d - b c - b a d - b c - c a d - b c a a d - b c

Passo 2

A partir da segunda metade da matriz aumentada, temos que:

A - 1 = d a d - b c - b a d - b c - c a d - b c a a d - b c

Que pode ser reescrito como

A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Passo 3

Sabemos que A só e invertível se e somente se ad – bc 0 pois

A - 1 = d a d - b c - b a d - b c - c a d - b c a a d - b c

E para ad – bc = 0 temos uma indeterminação, fazendo com que a inversa não exista.

Resposta

A demonstração está contida ao longo dos passos da resolução.

Exercícios de Livros Relacionados

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Prove: se B dor invertível, então A B^(- 1) = B^(- 1) A se, e só se, A B = B A .
Nos Exercícios 9 – 12 , resolva simultaneamente os sistemas lineares reduzindo a matriz aumentada apropriada. 12 . x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 = b 1 - x 1 - 2 x 2= b 2 2 x 1 + 5 x 2 + 4 x 3 = b 3 (i) b 1 = 1
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