Enunciado

Suponha que R 4 tenha o produto interno euclidiano. Encontre dois vetores unitários que sejam ortogonais a cada um dos três vetores u = 2,1 , - 4,0 , v = - 1 , - 1,2 , 2 e w = 3,2 , 5,4 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Sabemos que dois vetores u e v em um espaço do produto interno são chamados ortogonais se u , v = 0 .

Portanto, temos que considerar:

u , z = 0

v , z = 0

w , z = 0

Com z = z 1 , z 2 , z 3 , z 4 .

Vamos encontrar u , z :

u , z = 2 z 1 + 1 z 2 + - 4 z 3 + 0 z 4

u , z = 2 z 1 + z 2 - 4 z 3

Como u , z = 0 , temos que:

2 z 1 + z 2 - 4 z 3 = 0

Esta será nossa primeira equação.

Passo 2

Agora vamos encontrar v , z . Temos que:

v , z = - 1 z 1 + - 1 z 2 + 2 z 3 + 2 z 4

v , z = - z 1 - z 2 + 2 z 3 + 2 z 4

Como v , z = 0 , temos que:

- z 1 - z 2 + 2 z 3 + 2 z 4 = 0

Esta será nossa segunda equação.

Agora vamos encontrar w , z . Temos que:

w , z = 3 z 1 + 2 z 2 + 5 z 3 + 4 z 4

w , z = 3 z 1 + 2 z 2 + 5 z 3 + 4 z 4

Como w , z = 0 , temos que:

3 z 1 + 2 z 2 + 5 z 3 + 4 z 4 = 0

Esta será nossa terceira equação.

Passo 3

Dadas nossas três equações, podemos construir uma matriz aumentada do sistema para resolvê-lo:

2 - 1 3       1 - 1 2       - 4 2 5       0 2 4       0 0 0

Agora vamos aplicar as operações de linha para resolver:

Somando a segunda linha com a primeira temos:

2 - 1 3       1 - 1 2       - 4 2 5       0 2 4       0 0 0 → 1 - 1 3       0 - 1 2       - 2 2 5       2 2 4       0 0 0

Agora vamos somar a primeira linha à segunda, depois multiplicar a primeira linha por - 3 e somar com a terceira linha.

1 - 1 3       0 - 1 2       - 2 2 5       2 2 4       0 0 0 → 1 0 0       0 - 1 2       - 2 0 11       2 4 - 2       0 0 0

Vamos multiplicar a segunda linha por - 1 .

1 0 0       0 - 1 2       - 2 0 11       2 4 - 2       0 0 0 → 1 0 0       0 1 2       - 2 0 11       2 - 4 - 2       0 0 0

Agora vamos multiplicar a segunda linha por - 2 e somar com a terceira linha:

1 0 0       0 1 2       - 2 0 11       2 - 4 - 2       0 0 0 → 1 0 0       0 1 0       - 2 0 11       2 - 4 6       0 0 0

Podemos então multiplicar a terceira linha por 1 11 .

1 0 0       0 1 0       - 2 0 11       2 - 4 6       0 0 0 → 1 0 0       0 1 0       - 2 0 1       2 - 4 6 11       0 0 0

Agora vamos multiplicar a terceira linha por 2 e somar com a primeira linha:

1 0 0       0 1 0       - 2 0 1       2 - 4 6 11       0 0 0 → 1 0 0       0 1 0       0 0 1       34 11 - 4 6 11       0 0 0

Passo 4

Ufa... Conseguimos obter a seguinte matriz:

1 0 0       0 1 0       0 0 1       34 11 - 4 6 11       0 0 0

A partir dela, podemos dizer que:

z 1 + 34 11 z 4 = 0

z 2 - 4 z 4 = 0

z 3 + 6 11 z 4 = 0

Vamos considerar que z 4 = 11 t , logo:

z 1 = - 34 t

z 2 = 44 t

z 3 = - 6 t

E:

z = - 34 t ,   44 t ,   - 6 t ,   11 t

Passo 5

A norma unitária deste vetor será:

- 34 2 + 44 2 + - 6 2 + 11 2 t 2 = 1

Resolvendo, temos que:

3249 t 2 = 1

Portanto:

t = ± 1 57

Portanto, podemos considerar um vetor unitário na direção z como sendo:

z = - 34 57 , 44 57 ,   - 6 57 , 11 57

E um segundo vetor unitário na direção z como sendo:

z = 34 57 , - 44 57 ,   6 57 , - 11 57

Resposta

z = - 34 57 , 44 57 ,   - 6 57 , 11 57

z = 34 57 , - 44 57 ,   6 57 , - 11 57

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

5. Verifique que as matrizes de reflexão nas Tabelas 1 e 2 da Seçao 4.9 são orgtonais.
3. Em cada parte, determine se a matriz é ortogonal. Se for, obtenha a inversa.(a) 1 0 0 1 (b) 1 2 - 1 2 1 2 1 2 (c) 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 (d) - 1 2 1 6 1 3 0 - 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 (e) 1 2 1 2 1 2 1 2
14. Seja W a reta em R 2 de equação y = 2 x . Obtenha uma equação para W ⊥ .
13. Suponha que R 4 tenha o produto interno euclidiano e seja u = - 1,1 , 0,2 . Determine se o vetor u é ortogonal ao subespaço gerado pelos vetores w 1 = ( 1 , - 1,3 , 0 ) e w 2 = 4,0 , 9,2 .
12. Em cada parte, verifique a validade da desigualdade de Cauchy-Schwarz para os vetores dados.(a) u = ( - 2,1 ) e v = ( 1,0 ) , usando o produto interno do Exemplo 1 da Seção 6.1.(b) U = - 1 2 6 1 e