Enunciado

4. Prove que se A for ortogonal, então A T será ortogonal.

Passo 1

E aí? Bora fazer mais essa?

Temos como definição que para ser ortogonal:

A A T = I

E com base na definição obtemos:

A T = A - 1

Tá, mas ainda está muito abstrato?

Então se liga no próximo passo que vamos testar.

Passo 2

Vamos pegar uma matriz:

A = 1 2 - 1 2 1 2 1 2

Precisamos da sua transposta, então:

A T = 1 2 1 2 - 1 2 1 2

E temos que:

I = 1 0 0 1

Agora vamos fazer:

A A T = 1 2 - 1 2 1 2 1 2 ∙ 1 2 1 2 - 1 2 1 2

A A T = 1 2 + 1 2 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 + 1 2

A A T = 2 2 0 0 2 2

A A T = 1 0 0 1

Logo, temos que:

A A T = I

E podemos concluir que:

A T = A - 1

Então, A T é uma matriz ortogonal.

Resposta

Então, por definição temos que A T é uma matriz ortogonal.

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4. Quais dos conjuntos de vetores do Exercício 3 são ortonormais em relação ao produto interno euclidiano de R 3 ?
1. Em cada parte, decida se o conjunto de vetores dado é ortogonal em relação ao produto interno euclidiano de R 2 .(a) 0,1 , 2,0 (b) - 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 (c) - 1 2 , - 1 2 , 1 2 , 1 2 (d) 0,0 , 0,
3. Em cada parte, decida se o conjunto de vetores dado é ortogonal em relação ao produto interno euclidiano de R 3 .(a) 1 2 , 0 , 1 2 , 1 3 . 1 3 , - 1 3 ,- 1 2 , 0 , 1 2 (b) 2 3 , - 2 3 , 1 3 , 2 3 ,
Mostre que p = 1 - x + 2 x 2 e q = 2 x + x 2 são ortogonais em relação ao produto interno do E x e r c í c i o2 í .
Verifique se existem se existem escalares k e l tais que os vetores u = 2 , k , 6 , v = l , 5,3 e w = 1,2 , 3 sejam mutuamente ortogonais em relação ao produto interno euclidiano.