Enunciado

Mostre que se A é uma matriz ortogonal 2 × 2 , então existe um número real θ tal que

A =

⎜   c o s θ                 - s e n   θ   ⎜

⎜   s e n   θ                             c o s θ     ⎜

ou

A =

⎜   c o s θ                     s e n   θ         ⎜

⎜   s e n   θ           - c o s θ       ⎜

A primeira matriz, tem determinante igual a 1, é a matriz de rotação (veja a Subseção 5.4.1 na página 365). Observe que a segunda matriz além de ortogonal é simétrica.

Passo 1

Olá, jovens! Vamos começar seguindo a sugestão do enunciado e usando a matriz

⎜   a 11                   a 12         ⎜

⎜   a 21                   a 22         ⎜

Como essa matriz tem que ser ortogonal, então a inversa dela tem que ser igual a sua transposta, que nesse caso é

⎜   a 11                   a 21         ⎜

⎜   a 12                   a 22         ⎜

Passo 2

A matriz inversa é dada pelo seu determinante, a 11 a 22 - a 12 a 21 , vezes a matriz de cofatores:

⎜           a 22             - a 12     ⎜

⎜ - a 21                   a 11         ⎜

Comparando com a matriz transposta, vemos que devemos ter

a 11 a 22 - a 12 a 21 = 1

e

a 12 = - a 21 ,   a 22 = a 11

Substituindo essas duas últimas relações na primeira, obtemos

a 11 2 + a 21 2 = 1

Passo 3

Agora é que vem o pulo do gato, porque vamos fazer a 11 = a 22 = c o s   θ e a 12 = a 21 = s e n   θ . Assim, a matriz se torna

A =

⎜   c o s θ                 - s e n   θ   ⎜

⎜   s e n   θ                             c o s θ     ⎜

Usando o item anterior, podemos ver que

A =

⎜   c o s θ                     s e n   θ         ⎜

⎜   s e n   θ           - c o s θ       ⎜

também é uma solução. Basicamente, é isso para essa questão. Até mais!

Resposta

Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:a) 2 2 2 2
Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:b) 2 1 1 2
Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:h) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
Demonstre que se A é uma matriz triangular superior, então os autovalores de A são os elementos da diagonal principal de A.
Mostre que A é singular se, e somente se, 0 for um autovalor de A.