Enunciado

Mostre que a matriz A = [[[1,2],[3,2]]] é semelhante à matriz B = [[[4,0],[0,-,1]]] .

Passo 1

Olha só, vamos direto ao ponto. Como que uma matriz é semelhante à outra? Tem uma condição só! Que a gente consiga escrever a matriz como:

A = P B P^(- 1)

Sacou? Então vamos tentar fazer essa mágica aí! Mas olha o macete: vamos multiplicar essa equação por P na direita:

A P = P B P^(- 1) P

A matriz P sendo multiplicada pela sua inversa P^(- 1) dá a identidade, então:

A P = P B

Passo 2

Com essa equação fica mais fácil! Vamos dizer que a matriz P é genérica:

P = [[[a,b],[c,d]]]

Então vamos substituir lá!

[[[1,2],[3,2]]] [[[a,b],[c,d]]] = [[[a,b],[c,d]]] [[[4,0],[0,-,1]]]

Efetuando a multiplicação:

[[[a,+,2,c,b,+,2,d],[3,a,+,2,c,3,b,+,2,d]]] = [[[4,a,-,b],[4,c,-,d]]]

Igualando termo a termo:

{[[a + 2 c = 4 a],[b + 2 d = - b],[3 a + 2 c = 4 c],[3 b + 2 d = - d]])

Arrumando a casa:

{[[c = (3 a)/(2)],[b = - d],[c = (3 a)/(2)],[b = - d]])

Então uma matriz possível pra gente é:

P = [[[2,1],[3,-,1]]]

Repara que a gente pode pegar qualquer matriz que atenda às condições ali, porque elas seriam só uma multiplicação por escalar umas das outras, e esse escalar ia cortar lá na conta. Por isso, já que conseguimos escrever as matrizes na forma:

A = P B P^(- 1)

[[[1,2],[3,2]]] = [[[2,1],[3,-,1]]] [[[4,0],[0,-,1]]] [[[2,1],[3,-,1]]]^(- 1)

Elas são semelhantes!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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