Enunciado

Seja A uma matriz n × n diagonalizável. Mostre que o traço de A é igual à soma das raízes do seu

polinômio característico, incluindo as multiplicidades. (Sugestão: use o fato de que t r ( A B ) = t r ( B A ) .)

Passo 1

Fala, galerinha! Tá tendo dificuldades com essa questão? Não precisa se preocupar, você vai ver que é mais simples do que parece. Bom, se A é uma matriz n × n diagonalizável, então podemos escrever A = P - 1 D P , onde D é uma matriz diagonal e os elementos da sua diagonal são os autovalores de A , ou seja, as raízes do polinômio característico de A . Assim,

t r ( A ) = t r ( P - 1 D P ) = t r ( P - 1 P D )

mas P - 1 P = I . Logo,

t r A = t r ( D ) = λ 1 + ⋯ + λ n

Resposta

Veja a resolução acima.

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1. Em cada parte, encontre a equação característica da matriz simétrica dada e depois, por inspeção, determine as dimensões dos autoespaços(a) 1 2 2 4 (b) 1 - 4 2 - 4 1 - 2 2 - 2 - 2 (c) 1 1 1 1 1 1 1
Nos Exercícios 2–9, encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P - 1 A P . A = 3 1 1 3
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Esse problema conduziu uma prova do fato de que a multiplicacidade algébrica de um autovalor de uma matriz A de tamanho n × n é maior do que ou igual à multiplicidade geométrica. Para isso, suponha qu