Enunciado

Demonstre que A e A t possuem os mesmos autovalores. O que podemos dizer sobre os autovetores de A e A t .

Passo 1

E aí, aluno?! Vamos para mais uma questão!

Pelas propriedades matriciais sabemos que

det ⁡ A = det ⁡ ( A t )

Pois A e A t   possuem os mesmos elementos, apenas transladados em A t . Nesse sentido, dado que os determinantes são iguais, sabemos que A e A t possuem os mesmos autovalores, pois elas são similares.

Relembrando, para duas matrizes similares temos que:

A = M - 1 B M

Sabemos que

M - 1 M = I

Em que I é a matriz identidade. Assim:

det ⁡ A - x I = det ⁡ ( M - 1 B M - x I )

Reescrevendo:

det ⁡ A - x I = det ⁡ ( M - 1 ( B - x I ) )

det ⁡ ( M - 1 ( B - x I ) ) = det ⁡ ( M - 1 ) det ⁡ ( B - x I ) det ⁡ ( M )

Reordenando:

det ⁡ ( M - 1 ) det ⁡ ( M ) det ⁡ ( B - x I ) = det ⁡ ( M - 1 M ) det ⁡ ( B - x I )

Sabendo que

M - 1 M = I

det ⁡ ( I ) det ⁡ ( B - x I ) = 1 det ⁡ ( B - x I )  

Dessa forma, retomando

det ⁡ A - x I = det ⁡ ( M - 1 B M - x I )

Temos que

det ⁡ ( A - x I ) = det ⁡ ( B - x I )

Resposta

det ⁡ A = det ⁡ ( A t )

Não podemos afirmar nada sobre os autovetores.

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