Enunciado

Mostre que qualquer reta que contém o centro da elipse E : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 é secante a ela, e determine os pontos de interseção em função das coordenadas de um vetor diretor r → = ( m , n ) da reta. Em seguida, analise os casos particulares em que r contém um dos eixos de simetria ou uma das diagonais do retângulo fundamental da elipse.

Passo 1

Sabendo que o ponto X tem equações iguais a :

x = h + λ m

y = k + λ n

Então a equação será:

( h + λ m ) 2 a 2 + ( k + λ n ) 2 b 2 = 1

E como as retas contém o centro da elipse que está em ( 0,0 ) então h = k = 0 , então:

( λ m ) 2 a 2 + ( λ n ) 2 b 2 = 1

E nem m e nem n serão nulos. Se for, simplesmente não temos uma reta. Logo:

λ 2 m 2 a 2 + n 2 b 2 - 1 = 0

Fazendo o delta dessa equação do segundo grau (com a variável sendo λ ) nós teremos:

Δ = - 4 ⋅ m 2 a 2 + n 2 b 2 ⋅ - 1 = 4 m 2 a 2 + n 2 b 2

E como m 2 , n 2 , a 2 , b 2 sempre serão positivos então Δ sempre será positivo, logo por ser positivo sempre teremos retas secantes na elipse (bastando ter o centro dessa elipse.

Passo 2

Para encontrar as coordenadas dos pontos de interseção dessa reta na elipse serão:

λ 2 m 2 a 2 + n 2 b 2 - 1 = 0

λ = ± m 2 a 2 + n 2 b 2 - 1 2

x = ± λ m

y = ± λ n

Então se substituirmos m = a e n = b nós teremos:

x = ± a 2 ; y = ± b 2

Nos dando pontos iguais a:

a 2 ; b 2

- a 2 ; - b 2

- a 2 ; b 2

a 2 ; - b 2

Que representa:

Resposta

a 2 ; b 2

- a 2 ; - b 2

- a 2 ; b 2

a 2 ; - b 2

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Determine as retas tangentes á elipse E : x 2 + 3 y 2 = 7 que contêm o ponto P = ( - 1 , - 3 ) .
Obtenha equações da reta tangente á elipse E : x 2 + 2 y 2 = 3 em P = 1 , - 1 e da reta normal a E em Q = 1,1 .
Prove que, se P = h , k é um ponto exterior à elipse E : x 2 p + y 2 q = 1 , então existem exatamente duas retas tangentes a E que contêm P .
Justifique o roteiro anterior.
São dados, graficamente, o eixo maior e os focos de uma elipse. Descreva um método da construção de pontos da elipse com régua e compasso, baseado apenas na Definição 22-1.