Enunciado

Prove que:

( a ) Se P é um ponto interior a elipse E , então qualquer reta que contém P é secante a E

( b ) se s é uma reta disjunta de E , todos os pontos de s são exteriores a E (por essa razão, retas disjuntas de E são também chamados exteriores a E ).

Passo 1

Vamos imaginar um ponto P = ( h , k ) e se ele está dentro da elipse é por que temos uma equação igual a:

h 2 a 2 + k 2 b 2 < 1

1 a 2 b 2 b 2 h 2 + a 2 k 2 < 1

E que nos darão equações iguais a:

( h + λ m ) 2 a 2 + ( k + λ n ) 2 b 2 < 1

E um valor de λ igual a:

m 2 a 2 + n 2 q λ 2 + 2 h m a 2 + k n b 2 λ + h 2 a 2 + k 2 b 2 - 1 < 0

E o valor de delta para essa equação nos dará:

Δ = 4 h m a 2 + k n b 2 2 - 4 m 2 a 2 + n 2 b 2 h 2 a 2 + k 2 b 2 - 1

Uma forma simplificada dessa equação será:

Δ = 4 a 2 b 2 - n h - m k 2 + b 2 m 2 + a 2 n 2

Da página 321 da terceira edição.

E a condição para essa reta ser uma secante é termos valores de Δ > 0 , portanto acabaremos com:

b 2 m 2 + a 2 n 2 > n h - m k 2

Uma vez que b > k e a > h (por P estar dentro da elipse como pode se ver na figura abaixo), portanto sempre teremos Δ > 0 , nos dando somente retas secantes para um ponto P dentro da elipse.

Passo 2

Para:

s : X = h , k + λ ( m , n )

E para ser uma reta disjunta (externa) basta fazermos Δ < 0 para o discriminante da elipse e para ser disjunta de E nenhum ponto da reta deve pertencer a elipse. Para isso ser válido nós deveremos ter:

Δ = 4 a 2 b 2 - n h - m k 2 + b 2 m 2 + a 2 n 2 < 0

Ou seja:

- n 2 h 2 - m 2 k 2 + 2 m n h k + b 2 m 2 + a 2 n 2 < 0

n 2 a 2 - h 2 + m 2 b 2 - k 2 + 2 m n h k < 0

Então para termos um resultado negativo basta termos as duas condições que são:

| h | > | a |

| k | > | b |

E por ter termos ao quadrado então:

n 2 a 2 - h 2 + m 2 b 2 - k 2 > 2 m n h k

Então somente teremos pontos externos a elipse como retas adjuntas, para fazer com que a equação acima dê certo. Lembrando que ( h , k ) é um ponto exterior a elipse e que essa condição se mantém para qualquer ponto da reta disjunta.

Resposta

a )   P a s s o   1

b )   P a s s o   2

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