Enunciado

Prove que, se P = h , k é um ponto exterior à elipse E : x 2 p + y 2 q = 1 , então existem exatamente duas retas tangentes a E que contêm P .

Passo 1

Vamos indicar aqui um ponto de Tangência T = ( a , b ) e esse ponto não é o ponto P tendo em vista que o mesmo é um ponto exterior à parábola como indicado no enunciado. Sendo assim, uma equação da reta tangente a E em T , através da forma prática, é dada por

a x p + b y q = 1       i

Temos que P = h , k pertence a reta descrita acima, então,

a h p + b k q = 1     i i

Mas nosso ponto T também pertence à nossa elipse, logo, teremos

a 2 p + b 2 q = 1     ( i i i )

Resolvendo o sistema composto por i i   e   i i i vamos encontrar dois pares ordenados pois um valor de b implicará um valor de a e vice-versa. Tendo dois pares ordenados devemos nos lembrar que cada um desses pares gerará uma reta tangente quando substituirmos os valores de a   e   b em ( i ) o que é exatamente o que queríamos provar nesse exercício.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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