Enunciado

Mostre que o ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de geometria analítica.

Para responder ao questionamento do enunciado, devemos mostrar que o produto escalar entre o vetor que representa a mediana relativa à base e a reta suporte da base do triângulo isósceles é igual a zero, pois isso prova que o ângulo entre os dois segmentos de reta é um ângulo reto.

Fazendo AB o lado situado no diâmetro da circunferência e O seu centro, e o ponto C dado na figura abaixo, devemos mostrar que C A → ∙ C B → = 0 .

C A → ∙ C B → = C O → + O A → ∙ C O → + O B → = C O → ∙ C O → + C O → ∙ O B → + O A → ∙ C O → + O A → ∙ O B → =

= C O → 2 + C O → ∙ O B → + O A → ∙ C O → + O A → ∙ O B → = 0

Devemos observar que pela simetria da figura:

C O → ∙ O B → = - O A → ∙ C O →

E que sendo o raio da circunferência dado por r, temos:

C O → 2 = r 2   e   O A → ∙ O B → = - r 2

Resposta

Ver passo a passo.

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