Enunciado

Mostre que A = (3, 0, 2), B = (4, 3, 0) e C = (8, 1, −1) são vértices de um triângulo retângulo. Em qual dos vértices está o ângulo reto?

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de geometria analítica.

Para responder ao questionamento do enunciado, devemos calcular o produto escalar das retas suporte do triângulo, e verificar qual destes é igual a zero.

Fixamos o ponto A como referência e escrevemos os vetores B – A e C – A:

B - A = 4 ,   3 ,   0 - 3 ,   0 ,   2 = 1 ,   3 ,   - 2

C - A = 8 ,   1 ,   - 1 - 3 ,   0 ,   2 = 5 ,   1 ,   - 3

Agora calculamos o produto escalar entre os vetores obtidos:

1 ,   3 ,   - 2 ∙ 5 ,   1 ,   - 3 = 5 + 3 + 6 = 14 ≠ 0

Logo o ponto fixado, A, não é o vértice que tem o ângulo reto.

Repetimos o procedimento para o ponto B, e escrevemos A – B e C – B:

A - B = 3 ,   0 ,   2 - 4 ,   3 ,   0 = - 1 ,   - 3 ,   2

C - B = 8 ,   1 ,   - 1 - 4 ,   3 ,   0 = ( 4 ,   - 2 ,   - 1 )

Calculando o produto escalar:

- 1 ,   - 3 ,   2 ∙ 4 ,   - 2 ,   - 1 = - 4 + 6 - 2 = 0

Logo o ponto B é o vértice que tem o ângulo reto.

Para não deixar dúvidas faremos o cálculo para o ponto C, escrevendo A – C e B – C:

A - C = 3 ,   0 ,   2 - 8 ,   1 ,   - 1 = - 5 ,   - 1 ,   3

B - C = 4 ,   3 ,   0 - 8 ,   1 ,   - 1 = ( - 4 ,   2 ,   1 )

Calculando o produto escalar:

- 5 ,   - 1 ,   3 ∙ - 4 ,   2 ,   1 = 20 - 2 + 3 = 21 ≠ 0

Logo o ponto C não é o vértice que possui o ângulo reto.

Resposta

Vértice B.

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva, na incógnita vec x , a equação 2 vec x - 3 vec u = 10 (vec x + vec v) .
9.Prove que, se alpha != 0 , então alpha vec u = alpha vec v
3. Sendo u → , v →ew → representados na figura 3-2, represente x = 2 u → - v → + 5 w → 4 por uma flecha de origem O.
8.Prove recíproca da afirmação feita na Definição 3-1(a) a v → = 0 →⇒ a = 0o uv → = 0 ) .
6.O hexágono regular ABCDEF é regular, de centro O. Prove queA B → + A C → + A D → + A E → + A F → = 6 A O →