Enunciado

Considere dois vetores V e W tais que V = 5 , W = 2 e o ângulo entre V e W e 60 ° . Determine, como combinação linear de V e W, (xV + yW):

  1. Um vetor X tal que X · V = 20 e X · W = 5
  2. Um vetor X tal que X × V = 0 e X · W = 12

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de geometria analítica.

Para responder ao questionamento do enunciado, devemos usar os produtos vetorial e escalar dados e escrever uma equação para os coeficientes x e y:

X × V = 0 = > x V + y W × V = 0 = > x V × V + y W × V = 0

Sabemos que:

W × V = W V sen ⁡ θ = 5 ∙ 2 ∙ sen ⁡ 60 ° = 10 ∙ 3 2 = 5 3

E que:

V × V = 0

A equação fica reescrita como:

x V × V + y W × V = 0 = > 5 3 y = 0 = > y = 0

Usando o produto escalar fornecido temos:

X ∙ W = 12 = > x V + y W ∙ W = 12 = > x V ∙ W + y W ∙ W = 12

Sabemos que:

V ∙ W = V W cos ⁡ θ = 2 ∙ 5 ∙ cos ⁡ 60 ° = 10 ∙ 1 2 = 5

E que:

W ∙ W = W W cos ⁡ 0 ° = W 2 = 2 2 = 4

A equação fica reescrita como:

x V ∙ W + y W ∙ W = 12 = > 5 x + 4 y = 12

Passo 2

Temos o sistema:

y = 0 5 x + 4 y = 12

Resolvendo o sistema:

5 x = 12 = > x = 12 5

O vetor X é dado por:

X = 1 2 5 V

Resposta

X = 12 5 V .

Exercícios de Livros Relacionados

5. Na figura 3-3 (b) está representado um paralelepípedo. Sendo M tal que B M → = B G → / 2 indique a ponta da flecha de origem H que corresponde ao vetor H B → / 2 + A B → / 3 - C D → / 6 .
Na figura 3-3 (a) representa-se um hexágono regular ABCDEF. Determine X, sabendo que C X = - 3 u → + 2 v → + 3 w → 2
13. Prove que (- 1) vec v = - vec v
15. Prove que se, u →ev → são vetores não-nulos e paralelos, então u → + v → 2 ≠ u → 2 + v → 2
14. Suponha queu → = λ v → . Prove que:a) se v → ≠ 0 , então λ = u → / v → ;b) se u → e v → são de mesmo sentido, então u → = u → v → v → ; se são de sentido contrário, u → = - u → v → v → .