Enunciado

a) Mostre que, se u → é unitário, então p r o j u →   v → = v → ⋅ u → u → .

b) Seja B = ( i → ,   j → ,   k → ) uma base ortonormal. Mostre que todo vetor u → é a soma de suas projeções ortogonais sobre i → , j → e k → .

Passo 1

Provar o item (a) é bem simples, basta usar a fórmula do projeção:

  p r o j u →   v → = v → ⋅ u → u → 2   u →

Se u → é unitário, temos que u → = 1 , de modo que

p r o j u →   v → = v → ⋅ u → 1 2   u → = v → ⋅ u → u →

Passo 2

Para o item (b), vamos tomar u → = x ,   y ,   z = x   i → + y   j → + z   k → . Queremos mostrar que u → é a soma de suas projeções ortogonais sobre i → , j → e k → . Para isso, vamos calcular as projeções:

p r o j i →   u → = x ,   y ,   z ⋅ ( 1 ,   0 ,   0 ) 1 2   i → = x   i →

p r o j j →   u → = x ,   y ,   z ⋅ ( 0 ,   1 ,   0 ) 1 2   j → = y   j →

p r o j k →   u → = x ,   y ,   z ⋅ ( 0 ,   1 ,   0 ) 1 2   k → = z   k →

Passo 3

Portanto,

u → = x   i → + y   j → + z   k → = p r o j i →   u → + p r o j j →   u → + p r o j k →   u →

Era isso que queríamos mostrar!

Resposta

Demonstração.

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