Enunciado

  1. Prove que A = P - vec u <=> vec u = vec A P

Passo 1

Essas questões são de se, somente se. Traduzindo fica assim se A é igual a P - vec u , se e somente se, vec u é igual vec A P .

Para questões de se, somente se, precisamos provar começando da esquerda para direita e depois provar da esquerda para a direita. Sem mais papo furado, vamos começar.

Passo 2

Nesse passo 2, iremos provar assim:

Se A = P - vec u , então vec u = vec A P

Partiremos da expressão

A = P - vec u

Ajeitando essa expressão, temos:

A = P + ( - vec u )

Dessa última expressão, podemos afirmar que se A = P + ( - vec u )

Então

vec P A = - vec u ( p e l a d e f i n i ç ã o d e s o m a d e p o n t o e v e t o r )

Tiramos então que:

- vec P A = vec u

Só que - vec P A = vec A P , então:

vec u = vec A P

Como queríamos demonstrar né!!!

Passo 3

No passo 3, partiremos de vec u = vec A P e tentaremos chegar em A = P - vec u .

Se

vec u = vec A P

Podemos afirmar que:

A + vec u = P (pela definição de soma de ponto e vetor)

Somando - vec u de ambos os lados, temos:

A + ( vec u - vec u ) = P - vec u

A = P - vec u

Chegamos naquilo que queríamos!!!

Demonstramos tanto a ida quanto a volta, então demonstramos tudo

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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