Enunciado

  1. Mostre que se f → = f ( x ) for duas vezes derivável, então a função D : C 2 ( - ∞ , ∞ ) → F ( - ∞ , ∞ ) definida por D f → = f ' ' ( x ) é uma transformação linear.
  2. Encontre uma base do núcleo de D
  3. Mostre que o conjunto das funções que satisfazem a equação D f → = f ( x ) é um subespaço bidimensional de C 2 ( - ∞ , ∞ ) e encontre uma base desse subespaço.

Passo 1

Vamos mostrar que D é uma transformação linear. Primeiro vamos conferir a aditividade:

D f + g = f x + g x ' '

Do Cálculo, sabemos que podemos separar essa derivação em duas derivadas:

D f + g = f ' ' x + g ' ' x

O que demonstra que:

D f + g = D f + D ( g )

E agora vamos testar a multiplicidade por escalar:

D k ⋅ f = k f x ' '

Do cálculo, sabemos que podemos colocar a constante para fora da derivação:

D k ⋅ f = k ⋅ f ' ' ( x )

O que demonstra que:

D k ⋅ f = k ⋅ D ( f )

E isso comprova que a transformação D é linear.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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