Enunciado

Prove que se A for uma matriz n × n não nula, então A T A e A A T tem valores dominantes positivos.

Passo 1

Se temos A A T , designaremos como B , e A T A como C

A A T = B

A T A = C

Agora, do ponto de vista geométrico, se temos dois autoespaços λ 1 e λ 2 ,e o λ 1 e decompomos x 0 em dois vetores w 0 e v 0 , logo x 0 sempre estará mais perto do autovetor maior!

Assim, colocando em uma equação

x 0 = w 0 + v 0

Portanto, se colocarmos em uma matriz P qualquer, temos:

P x 0 = P w 0 + P v 0

E aplicando para B ou para C , temos

B x 0 = B w 0 + B v 0

C x 0 = C w 0 + C v 0

E se multiplicamos diversas vezes B ou C e normalizando, temos um vetor x que se encontrará um autovalor dominante. Logo:

B x ∙ x = λ x ∙ x = λ x 2

C x ∙ x = λ x ∙ x = λ x 2

Assim, o vetor unitário x será sempre positivo, implicando que o autovalor dominante também seja, quando aplicado o método das potências. Logo A A T e A T A possuem autovalores dominantes positivos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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