Enunciado

Necessita-se adubar um terreno acrescentando a cada 10 140 g de nitrato, 190 g de fosfato e 205 g de potássio.

Dispõe-se de quatro qualidades de adubo com as seguintes características:

  1. Cada quilograma do adubo I custa 5 u.c.p. e contém 10 g de nitrato, 10 g de fosfato e 100 g de potássio.
  2. Cada quilograma do adubo I I custa 6 u.c.p. e contém 10 g de nitrato, 100 g de fosfato e 30 g de potássio.
  3. Cada quilograma do adubo I I I custa 5 u.c.p. e contém 50 g de nitrato, 20 g de fosfato e 20 g de potássio.
  4. Cada quilograma do adubo I V custa 15 u.c.p. e contém 20 g de nitrato, 40 g de fosfato e 35 g de potássio.

Quanto de casa adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos a gastar 54 u.c.p. a cada 10 m² com a adubação?

Passo 1

Vamos montar o sistema:

5 x 1 + 6 x 2 + 5 x 3 + 15 x 4 = 54 10 x 1 + 10 x 2 + 50 x 3 + 20 x 4 = 140 10 x 1 + 100 x 2 + 20 x 3 + 40 x 4 = 190 100 x 1 + 30 x 2 + 2 0 x 3 + 35 x 4 = 205

Passo 2

Primeiro vamos escrever a matriz ampliada associada ao sistema, é bem simples:

5 6 5 10 10 50 10 100 100 30 20 20         15 54 20 140 40 35 190 205

Passo 3

Vamos lá, agora vamos usar as operações de multiplicação e soma da matriz para reduzir a matriz à forma escada:

Primeiro fazendo L 2 = - 2 L 1 + L 2 :

5 6 5 0 - 2 40 10 100 100 30 20 20         15 54 - 10 32 40 35 190 205

Agora L 3 = - 2 L 1 + L 3 :

5 6 5 0 - 2 40 0 100 88 30 10 20         15 54 - 10 32 10 35 82 205

Fazendo L 4 = - 20 L 1 + L 4 :

5 6 5 0 - 2 40 0 0 88 - 90 10 - 80         15 54 - 10 32 10 - 265 82 - 875

Aqui vamos fazer L 3 = 44 L 2 + L 3 :

5 6 5 0 - 2 40 0 0 0 - 90 1770 - 80         15 54 - 10 32 - 430 - 265 1490 - 875

E agora L 4 = - 45 L 2 + L 4 :

5 6 5 0 - 2 40 0 0 0 0 1770 - 188 0         15 54 - 10 32 - 430 185 1490 - 2315

Pra finalizar, não é tão claro ver a relação entre L 3 e L 4 para zerar o termo - 1880 , mas se liga, o que vc deve fazer é:

L 4 = - - 1880 1770 L 3 + L 4

Perceba que 1880 é o termo que você quer zerar e 1770 é o termo da linha que irá zerar o 1880 , podemos ainda simplificar:

L 4 = 188 177 L 3 + L 4 , o que nos resulta em:

5 6 5 0 - 2 40 0 0 0 0 1770 0         15 54 - 10 32 - 430 - 48095 177 1490 - 129635 177

Passo 4

Pronto, agora tá simples, achamos que:

5 x 1 + 6 x 2 + 5 x 3 + 15 x 4 = 54 - 2 x 2 + 40 x 3 - 10 x 4 = 32 1770 x 3 - 430 x 4 = 1490 - 48095 177 x 4 = - 129635 177

Vamos isolar os termos agora:

x 1 = 6451 9619

x 2 = 4381 9619

x 3 = 14396 9619

x 4 = 25927 9619

Pronto, essa é a solução.

Resposta

x 1 = 6451 9619

x 2 = 4381 9619

x 3 = 14396 9619

x 4 = 25927 9619

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