Enunciado

Na noite de Natal, Michelle resolvia exercícios de Geometria Analítica enquanto esperava a chegada de Papai Noel. Em cada um dos itens, apresentamos as equações planares encontradas por Michelle e as respostas do livro. Quais exercícios Michelle acertou?

a) x + 2 y = 0 2 x + y - z - 1 = 0                                             3 y + z + 1 = 0 3 x - 2 z - 2 = 0        

b) 4 x + y + z - 3 = 0 x - y + z + 1 = 0                                             4 x + y + z - 3 = 0 5 x + 2 z - 2 = 0        

c) x + 5 y - 3 z = 0 2 x - y + 2 z + 4 = 0                                             8 x + 7 y + 12 = 0 11 y - 8 z - 4 = 0        

Passo 1

a) Vamos encontrar a reta tanto da Michelle quanto a do livro ta bom?

Primeiro a reta da Michelle:

x + 2 y = 0 2 x + y - z - 1 = 0      

Da primeira equação, temos que x = - 2 y

Substituindo na segunda equação:

2 - 2 y + y - z - 1 = 0

- 3 y - z - 1 = 0

z = - 3 y - 1

Então a reta é assim:

x ,   y ,   z = ( - 2 y ,   y ,   - 3 y - 1 )

Transformando y no parâmetro λ :

x ,   y ,   z = 0 ,   0 ,   - 1 + λ ( - 2 ,   1 ,   - 3 )

Passo 2

Agora a reta do livro:

3 y + z + 1 = 0 3 x - 2 z - 2 = 0    

Da equação de cima, temos

z = - 3 y - 1

Substituindo na segunda equação:

3 x - 2 ( - 3 y - 1 ) - 2 = 0

3 x + 6 y + 2 - 2 = 0

x = - 2 y

Então a reta é assim:

x ,   y ,   z = ( - 2 y ,   y ,   - 3 y - 1 )

Transformando y no parâmetro λ :

x ,   y ,   z = 0 ,   0 ,   - 1 + λ ( - 2 ,   1 ,   - 3 )

Deu a mesma reta que a da Michelle, então, ela acertou esse exercício :)

Passo 3

b) Primeiro a reta da Michelle:

4 x + y + z - 3 = 0 x - y + z + 1 = 0    

Somando as duas equações:

5 x + 2 z - 2 = 0

z = - 5 2 x + 1

Substituindo na equação de cima:

4 x + y + - 5 2 x + 1 - 3 = 0

3 2 x + y - 2 = 0

y = - 3 2 x + 2

Então a equação é do tipo:

x ,   y ,   z = x ,   - 3 2 x + 2 ,   - 5 2 x + 1

Transformando x no parâmetro λ :

x ,   y ,   z = 0 ,   2 ,   1 + λ 1 ,   - 3 2 ,   - 5 2

Passo 4

Agora a reta do livro:

4 x + y + z - 3 = 0 5 x + 2 z - 2 = 0    

Da equação de baixo, temos

x = - 2 z + 2 5

Substituindo na equação de cima:

4 - 2 z + 2 5 + y + z - 3 = 0

- 8 5 z + 8 5 + y + z - 3 = 0

- 3 5 z + y - 7 5 = 0

y = 3 5 z + 7 5

Então a reta é assim:

x ,   y ,   z = - 2 z + 2 5 ,   3 5 z + 7 5 ,   z

Transformando z no parâmetro λ :

x ,   y ,   z = 2 5 , 7 5 ,   0 + λ - 2 5 , 3 5 ,   1

Passo 5

Comparando os vetores diretores da reta da Michelle e da reta do livro, repare que:

- 2 5 , 3 5 ,   1 = - 2 5 1 ,   - 3 2 ,   - 5 2

Ou seja, os vetores são múltiplos e portanto formam o mesmo vetor diretor.

Além disso, o ponto que a Michelle usou na sua equação, também pertence à equação do livro, visto que existe λ tal que

0 ,   2 ,   1 = 2 5 , 7 5 ,   0 + λ - 2 5 , 3 5 ,   1

Então a Michelle acertou essa reta também!!

Passo 6

c) Primeiro a reta da Michelle:

x + 5 y - 3 z = 0 2 x - y + 2 z + 4 = 0          

Multiplicando a equação de cima por - 2 :

- 2 x - 10 y + 6 z = 0 2 x - y + 2 z + 4 = 0

Somando as duas equações:

- 11 y + 8 z + 4 = 0

z = 11 y - 4 8 = 11 y 8 - 1 2

Substituindo na segunda equação:

x + 5 y - 3 11 y - 4 8 = 0

x + 5 y - 33 y 8 + 12 8 = 0

x = - 5 y + 33 y 8 - 3 2

x = - 7 y 8 - 3 2

Então a reta é assim:

x ,   y ,   z = - 7 y 8 - 3 2 ,   y ,   11 y 8 - 1 2

Transformando y no parâmetro λ :

x ,   y ,   z = - 3 2 ,   0 ,   - 1 2 + λ - 7 8 ,   1 , 11 8

Passo 7

Agora a reta do livro:

8 x + 7 y + 12 = 0 11 y - 8 z - 4 = 0          

Da equação de cima, temos

x = - 7 y 8 - 3 2

E da equação de baixo, temos

z = 11 y 8 - 1 2

Então a reta é assim:

x ,   y ,   z = - 7 y 8 - 3 2 ,   y ,   11 y 8 - 1 2

Transformando y no parâmetro λ :

x ,   y ,   z = - 3 2 ,   0 ,   - 1 2 + λ - 7 8 ,   1 , 11 8

Deu a mesma reta que a da Michelle, então, ela acertou esse exercício :)

Resposta

A Michelle acertou os 3 exercícios.

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