Enunciado

Um triângulo retângulo de área 1 tem os catetos contidos nos eixos O x e O y e a hipotenusa na reta r . Seus vértices têm coordenadas inteiras, e r é concorrente com a reta

s :   6 x + 3 y - 4 z - 6 = 0 3 y - 2 z - 3 = 0

Escreva uma equação vetorial de r (o sistema de coordenadas é ortogonal).

Passo 1

Temos algo desse tipo aqui:

Onde a reta laranja é a reta s e a reta preta é r , que não conhecemos.

Passo 2

Antes de qualquer coisa, vamos encontrar a reta s , ela é a intersecção entre os planos:

s :   6 x + 3 y - 4 z - 6 = 0 3 y - 2 z - 3 = 0

Multiplicando a equação de baixo por - 1 :

s :   6 x + 3 y - 4 z - 6 = 0 - 3 y + 2 z + 3 = 0

Somando as duas equações:

6 x - 2 z - 3 = 0

2 x - 2 3 z - 1 = 0

x = 1 3 z + 1 2

Substituindo na equação de cima:

6 1 3 z + 1 2 + 3 y - 4 z - 6 = 0

2 z + 3 + 3 y - 4 z - 6 = 0

y = 2 3 z + 1

Então, a reta s é dada por

x ,   y ,   z = 1 3 z + 1 2 , 2 3 z + 1 ,   z

Trocando o parâmetro z por λ , temos

s :   X = 1 2 ,   1 ,   0 + λ 1 3 , 2 3 ,   1

Passo 3

Agora vamos analisar duas informações aqui:

O enunciado disse que o triângulo retângulo tem área 1 , ou seja:

b . h 2 = 1

b . h = 2

Mas ao mesmo tempo, ele disse que as coordenadas dos vértices são inteiras.

Então, ou b = 2 e h = 1 ou b = 1 e h = 2 .

Dessa forma, temos duas opções para os vértices e catetos desse triângulo retângulo:

O p ç ã o   I :   B ' = ( 2 ,   0 ,   0 ) e D ' = ( 0 ,   1 ,   0 )

B ' D ' → = ( - 2 ,   1 ,   0 )

O p ç ã o   I I :   B ' ' = ( 1 ,   0 ,   0 ) e D ' ' = ( 0 ,   2 ,   0 )

B ' ' D ' ' → = ( - 1 ,   2 ,   0 )

Dessa forma, a princípio teríamos duas opções pra reta r :

r ' : X = 2 ,   0 ,   0 + α . ( - 2 ,   1 ,   0 )

r ' ' : X = 1 ,   0 ,   0 + α . ( - 1 ,   2 ,   0 )

Passo 4

O enunciado nos disse que a reta r é concorrente com a reta s , ou seja, elas devem se cruzar em algum momento.

Como a reta r está no plano O x y , ou seja, no plano z = 0 , a reta s vai cruzar com a reta r no mesmo ponto onde cruza esse plano:

Vamos encontrar a intersecção da reta s com o plano z = 0 .

Um ponto genérico da reta s é

P = 1 3 λ + 1 2 , 2 3 λ + 1 ,   λ

Vamos substituir esse ponto no plano:

z = 0

λ = 0

Opa, então a intersecção da reta s e do plano é dada quando λ = 0 , ou seja:

P = 1 2 , 1 ,   0

Que é o mesmo ponto onde a reta s vai cruzar a reta r :D

Passo 5

Vimos no passo 3 duas opções para a reta r :

r ' : X = 2 ,   0 ,   0 + α . ( - 2 ,   1 ,   0 )

r ' ' : X = 1 ,   0 ,   0 + α . ( - 1 ,   2 ,   0 )

Mas agora temos que conferir em qual delas vai passar o ponto P , para que assim, elas sejam concorrentes com a reta s .

Vamos lá, primeiro para a reta r ' :

1 2 ,   1 ,   0 = 2 ,   0 ,   0 + α . ( - 2 ,   1 ,   0 )

1 2 ,   1 ,   0 = 2 - 2 α ,   α ,   0

Igualando as coordenadas:

2 - 2 α = 1 2 α = 1 0 = 0

Da segunda equação, temos que α = 1 . Substituindo na primeira:

1 - 2.2 = 1 2

- 3 = 1 2

Opa, chegamos em uma desigualdade, então não existe α tal que P pertença à reta r ' :/ Então ela não é concorrente com a reta s .

Passo 6

Agora vamos testar para a reta r ' ' :

1 2 ,   1 ,   0 = 1 ,   0 ,   0 + α . ( - 1 ,   2 ,   0 )

1 - α = 1 2 2 α = 1 0 = 0

Da segunda equação, temos α = 1 2 . Substituindo na primeira equação:

1 - 1 2 = 1 2

1 2 = 1 2

Ebaaa, então esse sistema é possível e existe um α tal que P pertença a r ' ' !!

Então r ' ' é a reta que estávamos procurando:

r : X = 1 ,   0 ,   0 + α . ( - 1 ,   2 ,   0 )

E vimos no passo 3 que ela é dada quando B = ( 1 ,   0 ,   0 ) e D = ( 0 ,   2 ,   0 ) :

Resposta

r : X = 1 ,   0 ,   0 + α . ( - 1 ,   2 ,   0 )

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Obtenha, em cada caso, uma equação vetorial da reta s . s contém o baricentro do triângulo de vértices P = 3,1 , 2 ,Q = 1,2 , 0 e R = 2 , - 3,1 e é paralela a r : x + z = y = 1 + z - 2 x .Os pontos em
Verifique, que em cada caso, se existe uma reta s paralela a r e contida em π : x - 2 y + 3 z = 0 .(b) r é o eixo das abcissas.
Calcule o volume do tetraedro (SO) determinado pelas retas r ,s ,t e pelo plano π , nos casos:(b) π : x + y - z + 1 = 0 r : x = y = z + 1s : x + y = 0 = z + 1t : x + y - z = 1 = x + 1
Calcule o volume do tetraedro (SO) determinado pelas retas r ,s ,t e pelo plano π , nos casos:(a) r : x + y + z - 5 = 0 r : x = z = 0 s : x = y = 0 t : x - 2 y = z = 0