Enunciado

Observando a figura ao lado, diga se os vetores são l.i. ou l.d. e justifique cada resposta.

  1. b → , c → e y → ;
  2. a → , x → e y → ;
  3. a → , b → , x → e y → ;
  4. a → , w → , com w → =   x →   -   a   → +   b → .

Passo 1

Gente, basicamente o que temos que fazer nessa questãozinha é ver se é possível escrever um dos vetores como combinação linear dos outros. Vamos lá?

  1. b → , c → e y →
  2. Vemos que b → , c → estão num mesmo plano, enquanto y → está num plano paralelo ao plano de b → , c → . Mas, o mais importante aqui é que y → está num plano paralelo ao plano de b → , c → :

    y → =   b → +   c →  

    Então, esses vetores são L.D.

    Passo 2

  3. a → , x → e y →
  4. Nesse caso, a → , x → estão em planos paralelos, então são coplanares. y → está num plano que é ortogonal tanto a a → quanto x → , então não é coplanar com esses dois vetores. Assim, não é possível escrever nenhum dos vetores como combinação linear dos outros dois. Logo, os vetores são L.I.

    Passo 3

  5. a → , b → , x → e y →
  6. Você deve lembrar do conteúdo que quando temos 4 ou mais vetores, eles são sempre L.D. Mas não custa nada ver isso explicitamente. Por exemplo, temos

    x → = a → -   b →

    Passo 3

  7. Como w → =   x →   -   a   → +   b → é uma combinação linear que envolve o vetor   a   → , então a → , w → são L.D.

Resposta

  1. L.D.
  2. L.I.
  3. L.D.
  4. L.D.

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Para cada um dos pares de vetores u → e v → , encontrar a projeção ortogonal de v → sobre u → e decompor v → como soma de v → 1 com v → 2 , sendo v → 1 | | u → e v → 2 ⊥ u → . u → = 2,0 , 0 e v → = 3,
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