Enunciado

No Δ   A B C   temos A B →   = ( 2 , - 1 , - 2 ) e A C →   = ( 3,5 , - 1 ) . Pedem-se:

  1. a projeção ortogonal de A C →   na direção de A B →   ;
  2. um vetor não nulo H C →   que dê a direção da altura relativa ao vértice C;
  3. o comprimento h C da altura relativa ao vértice C;
  4. as coordenadas do vetor A C 0 →   , sendo C 0   o ponto simétrico de C   em relação à reta suporte do lado AB.

Passo 1

Fala, galerinha! Estão preparados?

  1. Lembraremos que a projeção de um vetor A C →   na direção de A B →   é dada por:
  2. p r o j A B A C → = A C → ⋅ A B → | A B | → 2 A B   →   = ( 2 , - 1 , - 2 ) ⋅ ( 3,5 , - 1 ) ( 2 2   + ( - 1 ) 2 + ( - 2 ) 2     ) 2 ( 2 , - 1 , - 2 )   = 6   - 5   + 2 ( 4   + 1   + 4     ) 2 ( 2 , - 1 , - 2 )

    p r o j A B A C → = A C → ⋅ A B → | A B | → 2 A B   →   = 3 9 ( 2 , - 1 , - 2 )   = 1 3 ( 2 , - 1 , - 2 ) .

    Passo 2

  3. Desenhamos o Δ   A B C   , juntamente com a altura relativa ao vértice C, que deve ser ortogonal a aresta oposta. Então, o produto interno entre H C →   e A B   → deve ser nulo. Vemos que H C → deve ser uma combinação linear entre B C   → e A C → , ou seja,
  4. H C → = α B C   → + β A C →

    Como B C   → = B A   → + A C → = - A B   → + A C → , então

    H C → = α ( - A B   → + A C → ) + β A C → = - α A B   → + ( α + β ) A C →

    Usando a condição de que H C →   e A B   → devem ser ortogonais, obtemos

    H C → ⋅ A B   → = - α A B   → ⋅ A B   → + ( α + β ) A C → ⋅ A B   → = - α ( 4 + 1 + 4 ) + ( α + β ) ( 6 - 5 + 2 )

    = - 9 α + 3 ( α + β ) = - 6 α + 3 β = 0 ⇒ β = 2 α

    Substituindo esse resultado em H C → , obtemos

    H C → = - α A B   → + ( α + 2 α ) A C → = - α A B   → + 3 α A C →

    ⇒ H C → = α [ 3 ( 3,5 , - 1 ) - ( 2 , - 1 , - 2 ) ] = α ( 9 - 2,15 + 1 , - 3 + 2 ) = α ( 7,16 , - 1 )

    Como a questão pede um vetor não nulo H C →   que dê a direção da altura relativa ao vértice C, temos liberdade para escolher α . Então, vamos escolher α = 1 .

    Passo 3

  5. O ângulo entre os vetores H C → e A C → tem um cosseno dado por
  6. c o s   θ = H C → ⋅ A C → | H C → | | A C → | = 21 + 80 + 1 9 + 25 + 1 49 + 256 + 1 = 102 35 306 = 3 ⋅ 34 35 9 ⋅ 34 = 34 35 34 = 34 35

    Por outro lado, esse cosseno também pode ser dado por

    c o s   θ = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a = h c | A C → | = h c 35

    Comparando as duas expressões, encontramos que h c = 34

    Passo 4

  7. Antes de mais nada, vamos usar o resultado do item c) para descobrir h c → = γ H C → , uma vez que h c → é proporcional a H C → . Então, tirando o módulo dos dois vetores, devemos ter

| h c | → = | γ H C → | ⇒ 34 = γ 2 ( 49 + 256 + 1 ) = γ 306 = γ 9 ⋅ 34 = 3 γ 34 ⇒ 1   = 3 γ ⇒ γ = 1 3

Logo, devemos ter h c → = 1 3 H C → = 1 3 ( 7,16 , - 1 ) . O ponto C 0   que é simétrico a C   em relação à reta suporte do lado AB fica da seguinte forma

Então, vemos que o ponto C 0 está do lado oposto ao ponto C em relação a AB e D é o ponto onde a reta que sai de C a C 0 cruza o eixo AB. Logo, o vetor A C 0 → será dado pelo vetor central h c → e pelo vetor A C → . Pela geometria dos vetores, temos que

A C 0 →   =   A D   →   - h c → =   A C     →   - h c →       - h c → = A C     →   - 2 h c →    

A C 0 →   =   ( 3,5 , - 1 ) - 2 3 ( 7,16 , - 1 ) = ( 9 - 14 3 , 15 - 32 3 , - 3 + 2 3 ) = 1 3 ( - 5 , - 17 , - 1 )  

A C 0 →   =   - 1 3 ( 5,17,1 ) .

Resposta

  1. p r o j A B A C → = A C → ⋅ A B → | A B | → 2 A B   →   = 1 3 ( 2 , - 1 , - 2 ) ;
  2. H C → = ( 7,16 , - 1 ) ;
  3. h c = 34 ;
  4. A C 0 →   =   - 1 3 ( 5,17,1 ) .

Exercícios de Livros Relacionados

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