Enunciado

Obtenha, em cada caso, uma equação do plano que contém a reta r e é tangente à superfície esférica S . Interprete os resultados.

  1. r : x + 6 2 = y + 3 = z + 1 S : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y - 4 z + 4 = 0
  2. r : X = 4,1 , 1 + λ 4,3 , 1 S : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 6 y + 2 z + 8 = 0

Passo 1

Para resolvermos esta questão, precisamos obter algumas relações entre as variáveis da equação genérica do plano π : a x + b y + c z + d = 0 . Isto, precisamos reduzir o número de variáveis deste plano.

Para isto, vamos utilizar a reta r . Como o plano contém a reta, significa que os pontos da reta pertencem ao plano. Vamos então pegar dois pontos da reta, substituir na equação do plano e assim reduzir o número de variáveis.

Da equação da reta, vamos escolher arbitrariamente os pontos A = 4 , 1 , 1 e B = 0 , - 2 , 0 . Substituindo na equação do plano π , obtemos o seguinte sistema:

4 a + b + c + d = 0 - 2 b + d = 0

Da segunda equação obtemos que d = 2 b . Substituindo na primeira, teremos:

4 a + b + c + 2 b = 0

4 a + 3 b + c = 0

c = - 4 a - 3 b

Portanto, o nosso plano π é dado por:

π : a x + b y + c z + d = 0

π : a x + b y + - 4 a - 3 b z + 2 b = 0

π : a x + b y - 4 a + 3 b z + 2 b = 0

Agora sim, já conseguimos trabalhar com o nosso plano. Nosso trabalho agora é descobrir quais valores de a e b que satisfazem a condição do plano π ser tangente a superfície.

Passo 2

Vamos agora colocar a nossa superfície esférica na sua forma reduzida para obtermos o seu centro e raio. Portanto,

S : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 6 y + 2 z + 8 = 0

S : x 2 - 2 x + y 2 + 6 y + z 2 + 2 z + 8 = 0

S : x 2 - 2 x + 1 - 1 + y 2 + 6 y + 9 - 9 + z 2 + 2 z + 1 - 1 + 8 = 0

S : x - 1 2 + y + 3 2 + z + 1 2 - 3 = 0

S : x - 1 2 + y + 3 2 + z + 1 2 = 3 2

E para que esta relação seja satisfeita, sabemos automaticamente que, seja C = 1 , - 3 , - 1 o centro da nossa superfície esférica e ρ = 3 seu raio, temos:

d C , π = ρ = 3

Basta resolvermos esta equação acima.

Passo 3

Para resolvermos a relação descrita no passo 1, vamos ter de calcular a distância do centro da superfície até o plano π . Portanto,

d C , π = a 1 + b - 3 - 4 a + 3 b - 1 + 2 b a 2 + b 2 + - 4 a - 3 b 2

d C , π = a - 3 b + 4 a + 4 b + 2 b a 2 + b 2 + 16 a 2 + 2 4 a b + 9 b 2

d C , π = 5 a + 2 b 17 a 2 + 2 4 a b + 10 b 2

Agora, só resolvermos a seguinte equação:

d C , π = 3

Ou também, para facilitarmos as nossas vidas e retirarmos a raiz e o módulo, vamos elevar ao quadrado. Logo,

d C , π 2 = 3 2

5 a + 2 b 17 a 2 + 24 a b + 10 b 2 2 = 3 2

25 a 2 + 2 0 a b + 4 b 2 17 a 2 + 24 a b + 10 b 2 = 3

25 a 2 + 2 0 a b + 4 b 2 = 3 17 a 2 + 24 a b + 10 b 2

25 a 2 + 2 0 a b + 4 b 2 = 51 a 2 + 72 a b + 3 0 b 2

26 a 2 + 52 a b + 26 b 2 = 0

a 2 + 2 a b + b 2 = 0

Para resolvermos esta equação, vamos considerar a como nossa variável x . Todo o resto será uma constante. Portanto, seria algo do tipo:

1 a 2 + 2 b a + b 2 = 0

Portanto, a solução será dada por:

α = - 2 b ± 4 b 2 - 4 b 2 2 = - 2 b ± 0 2

α = - b

Portanto, só temos uma única solução. Logo, teremos o seguinte plano:

π : a x + b y - 4 a + 3 b z + 2 b = 0

π : a x - a y - a z - 2 a = 0

Colocando o a em evidência e passando dividindo, pois ele é diferente de zero, temos:

π : x - y - z - 2 = 0

OBS: pode-se verificar também que só existe um único plano ao perceber que a reta r é tangente à superfície S !

Resposta

π : x - y - z - 2 = 0

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Determine a interseção da reta r : x - 1 = y 2 = z com a superfície esférica S de centro ( 1,2 , 1 ) e raio 21
Obtenha uma equação da superfície esférica de centro ( 6,3 , - 4 ) que é tangente ao eixo O x
Obtenha um equação da superfície esférica que contém os pontos ( 6 , - 1,3 ) e ( 0,7 , 5 ) , cujo centro pertence a reta interseção dos planos π 1 : x = 2 z - 3 e π 2 : y = z - 1
Obtenha uma equação da superfície esférica que contém os pontos 0,0 , 1 , 1,0 , 0 , ( 0,1 , 0 ) , cujo centro pertence ao plano π : x + y - z = 0
Localize, em relação a superfície esférica de equação: x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 2 y - 2 z + 7 = 0 , os pontos A = ( 2 , - 1,3 ) e B = 3 , - 1,0 .