Enunciado

Determine a interseção da reta r : x - 1 = y 2 = z com a superfície esférica S de centro ( 1,2 , 1 ) e raio 21

Passo 1

A equação da esfera é dada por:

x - 1 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 21

E a reta tem equação de:

x - 1 = z → x = z + 1

y 2 = z → y = 2 z

Então aplicando o ponto ( z + 1,2 z + z ) nós teremos o seguinte sistema:

z + 1 - 1 2 + 2 z - 2 2 + z - 1 2 = 21

z 2 + 4 z 2 - 8 z + 4 + z 2 - 2 z + 1 = 21

6 z 2 - 10 z + 5 = 21 = 0

6 z 2 - 10 z - 16 = 0

Isso nos dá raízes iguais a:

z 1 = - 1

z 2 = 8 3

Esses são as posições em z cuja a reta se encontra com a esfera, agora só encontrar x e y para esses z aí. Já que

x = z + 1

y = 2 z

z = z

Passo 2

Para z = - 1 teremos:

y = 2 ⋅ - 1 = - 2

x = - 1 + 1 = 0

Logo o primeiro ponto de interseção será:

( 0 , - 2 , - 1 )

E para z = 8 3 teremos:

x = 8 3 + 1 = 11 3

y = 2 ⋅ 8 3 = 16 3

E o outro ponto seria:

11 3 , 16 3 , 8 3

Resposta

( 0 , - 2 , - 1 )

E

11 3 , 16 3 , 8 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os valores máximo e mínimo atingidos pela expressão x - 2 y + z (e os pontos X m á x á e X m í n í em que ocorrem) quando X percorre a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = 6 .
Obtenha equações da circunferência Γ de centro G que contém os pontos A e B , nos casos: G = 1,2 , 1 , A = 2,2 , 0 , B = 1,1 , 4 G = 1,1 , 4 , A = 0,3 , 2 , B = 2,3 , 6 G = 2,1 , 1 , A = 1,0 , 2 , B =
Determine os planos tangentes à superfície esférica S : x - 1 2 + y 2 + z 2 = 6 que são perpendiculares à reta r : x - 1 2 = y = z - 1 .
Em cada caso, obtenha uma equação da superfície esférica tangente aos planos π 1 e π 2 , sabendo que T é um dos pontos de tangência. π 1 : x = 0π 2 : 3 x + y + z - 2 = 0T = 0,2 , - 1 π 1 : 6 x - 3 y -
Obtenha, em cada caso, uma equação do plano que contém a reta r e é tangente à superfície esférica S . Interprete os resultados. r : x + 6 2 = y + 3 = z + 1 S : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y - 4 z + 4 =