Enunciado

Prove, no caso (b) da Proposição 24-26, que todo ponto de S 2 , diferente de T , é exterior a S 1 .

Passo 1

Bom, primeiramente, não iremos repetir o enunciado da proposição.

Os nossos dados iniciais são duas superfícies esféricas tangentes interiormente S 1 e S 2 tais que δ = d C 1 , C 2 e ρ 2 > ρ 1 . Queremos provar que, todo ponto de S 2 (que engloba S 1 ), diferentemente do ponto de tangência, é ponto exterior a S 1 .

O procedimento é bem semelhante ao feito na demonstração da letra a) da Proposição 24-26.

Vamos supor um ponto P qualquer tal que P ∈ S 2 , mas também P ≠ T . Provar que o povo P é exterior a superfície S 1 é encontrar uma relação que diz que a distância do ponto P até o centro desta superfície C 1 é maior que o seu raio ρ 1 .

Então, vamos formar um triângulo C 1 C 2 P . Pela propriedade triangular, sabemos que:

d C 1 , C 2 ≤ d P , C 1 + d P , C 2

δ ≤ d P , C 1 + d P , C 2

Só que também sabemos que o ponto P pertence a superfície S 2 . Portanto, d P , C 2 = ρ 2 . Substituindo esta relação, temos:

δ ≤ d P , C 1 + ρ 2

d P , C 1 ≥ δ - ρ 2

Só que nós sabemos que as duas superfícies são tangentes interiormente. Pela preposição, temos que δ = ρ 2 - ρ 1 . Portanto,

d P , C 1 ≥ δ - ρ 2 = ρ 1

Para que tenhamos um sinal de igualdade, o ponto P deve ser o ponto T , o que nós deixamos claros de início que isto não pode ocorrer. Portanto, temos:

d P , C 1 > ρ 1

Como a distância de P até o centro C 1 é maior que o raio desta superfície, significa dizer que todo ponto P ∈ S 2 e diferente de T é ponto exterior a superfície S 1 , provando então a relação pedida!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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