Enunciado

Obtenha uma equação geral do plano π 1 que contém r : X = 1 ,   0 ,   1 + λ   0 ,   3 ,   1 e é perpendicular a π 2 : x + y - 2 z - 2 = 0 , e obtenha uma equação vetorial de π 1 ∩ π 2 .

Passo 1

Bom, o primeiro passo aqui é identificar o vetor normal do plano π 2 :

n → 2 = ( 1 ,   1 ,   - 2 )

Assim, vamo chamar o vetor normal a π 1 de n → 1 = ( a ,   b , c ) . Como os planos devem ser perpendiculares, os vetores normais devem ser ortogonais:

n → 1 ⋅ n → 2 = 0 ⇒ a ,   b ,   c ⋅ 1 ,   1 ,   - 2 = 0 ⇒ a + b - 2 c = 0

Assim,

b = - a + 2 c ⇒ n → 1 = ( a ,   - a + 2 c ,   c )

Além disso, como a reta r com vetor diretor u → = ( 0 ,   3 ,   1 ) devem pertencer ao plano, ele deve ser ortogonal ao vetor normal:

u → ⋅ n → 1 = 0 ⇒ a ,   - a + 2 c ,   c ⋅ 0 ,   3 ,   1 = 0 ⇒ - 3 a + 6 c + c = 0 ⇒ 3 a = 7 c ⇒ c = 3 a 7

Portanto,

n → 1 = a ,   - a + 6 a 7 , 3 a 7 = a ,   - a 7 , 3 a 7 = a 7   ( 7 ,   - 1 ,   3 )

Por simplicidade, como estamos interessados apenas na direção, vamos usar

n → 1 = ( 7 ,   - 1 ,   3 )

Passo 2

Assim, a equação do plano π 1 é

7 x - y + 3 z + d = 0

Como a reta r deve estar no plano, o ponto P = ( 1 ,   0 ,   1 ) também deve estar, de modo que

7 ⋅ 1 - 0 + 3 ⋅ 1 + d = 0 ⇒ d = - 10

Portanto, a equação geral do plano é

7 x - y + 3 z - 10 = 0

Passo 3

Por fim, queremos a equação vetorial da intersecção π 1 ∩ π 2 , que deve ser uma reta. O vetor diretor dessa reta é o produto vetorial dos vetores normais dos planos:

v → = n → 1 ∧ n → 2 = i → j → k → 7 - 1 3 1 1 - 2 = 2 - 3 i → + 3 + 14 j → + 7 + 1 k → = ( - 1 ,   17 ,   8 )

Assim, a equação da reta é

X = A + λ   ( - 1 ,   17 ,   8 )

Precisamos achar um ponto A que pertença aos dois planos, isto é, satisfaça as duas equações:

7 x - y + 3 z = 10 x + y - 2 z = 2

Fazendo x = 1 , obtemos

- y + 3 z = 3 y - 2 z = 1

Somando as equações,

z = 4 ⇒ y = 1 + 8 = 9

Portanto, o ponto A = ( 1 ,   9 ,   4 ) pertence a reta, de modo que sua equação vetorial pode ser

X = 1 ,   9 ,   4 + λ   ( - 1 ,   17 ,   8 )

Vale lembrar que essa resposta não é única!

Resposta

7 x - y + 3 z - 10 = 0

X = 1 ,   9 ,   4 + λ   ( - 1 ,   17 ,   8 )

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Quais dos seguintes pares de plano se cortam segundo uma reta?x + 2y – 3z – 4 = 0 e x – 4y + 2z + 1 = 0
Mostre que os planos 2x – y +z = 0 e x + 2y – z = 1 se interceptam segundo uma reta r
Quais dos seguintes pares de plano se cortam segundo uma reta?b) 2x – y + 4z + 3 = 0 e 4x – 2y + 8z = 0