Enunciado

Encontrar a equação do plano que passa pelos pontos P = (1, 0, 0) e Q = (1, 0, 1) e é perpendicular ao plano y = z.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de geometria analítica.

Para responder ao questionamento do enunciado, começamos lembrando que um plano paralelo tem o mesmo vetor diretor, e que a equação de um plano é dada por:

a x + b y + c z + d = 0

Como o plano passa pelos pontos P e Q, o vetor PQ é paralelo ao plano procurado:

P Q → = 1 ,   0 ,   1 - 1 ,   0 ,   0 = ( 0 ,   0 ,   1 )

Como o plano y = z é perpendicular ao plano que procuramos, o seu vetor normal também é paralelo ao plano procurado. O vetor normal de y – z = 0 é:

N = 0 , 1 , - 1

Dessa forma, o produto vetorial de N e do vetor PQ nos dará o vetor normal ao plano que estamos procurando:

N = i j k 0 0 1 0 1 - 1 = 0 i + 0 j + 0 k + 0 k + 0 j - i = - i   o u   N = ( - 1 ,   0 ,   0 )

Até então temos a equação do plano desejado dada por:

α : - x + d = 0

Como o plano passa pelos pontos P e Q fornecidos no enunciado, podemos substituir seus valores (Qualquer um dos pontos) nessa última equação e determinar o valor de d:

- 1 + d = 0 = > d = 1

O plano que procuramos tem equação dada por:

α : - x + 1 = 0

Resposta

- x + 1 = 0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r : X = 1 ,0 ,2 + λ( 4 ,1 ,0 ) e é perpendicular a π : 3 x + y + z = 0 .
Obtenha uma equção geral do plano que contém a origem do sistema de coordenadas, é paralelo a r :- x = 1 - y / 4 = ( 1 - z ) / 5 e perpendicular a π : X = 1 ,2 ,3 + λ0 ,4 ,- 3 + μ( 1 ,- 1 ,- 2 ) .
Estude a posição relativa dos planos π 1 : 2 x + y + 3 z + 1 = 0 e π 2 : X = 1 ,1 ,1 + λ1 ,1 ,0 + μ( 2 ,- 1 ,m ) e verifique se existe algum valor de m para o qual π 1 e π 2 sejam perpendiculares.
Dados pi_1 : X = (1 , - 2 , 0) + lambda (1 , 0 , - 1) + mu ( 0 , 0 , - 1 ) e pi_2 : X = (1 , 0 , 3) + lambda (1 , 2 , 0) + mu ( - 1 , 1 , - 1 ) , obtenha uma equação vetorial de pi_1 nn pi_2 .
a) Prove que o lugar geométrico dos pontos de E 3 que equidistam de A = ( 1 ,- 1 ,2 ) e B = ( 4 ,3 ,1 ) é um plano.b) Prove que o plano do item (a) é perpendicular ao segmento A B e contém o seu ponto