Enunciado

Obtenha uma equação geral do plano que dista 1 de O = 0,0 , 0 e contém a reta perpendicular comum às retas r : X = 2,12 + λ 1,1 , 1 e s : X = - 1,0 , 1 + μ 1,1 , 2 .

Passo 1

O primeiro passo aqui é encontrar essa reta que é perpendicular à r e s ao mesmo tempo.

A primeira condição pra isso é a seguinte: o vetor diretor da nova reta tem que ser perpendicular aos vetores diretores de r e s .

Isso quer dizer que, se o vetor diretor da nossa reta é t → , então:

t → ∙ s → = 0

t → ∙ r → = 0

Se t → = a , b , c :

a , b , c ∙ 1,1 , 2 = 0 a , b , c ∙ 1,1 , 1 = 0

a + b + 2 c = 0 a + b + c = 0

Subtraindo a segunda equação da primeira:

a + b + c - a + b + 2 c = 0

c = 0

E substituindo isso em qualquer uma das duas:

a + b = 0

b = - a

Então nosso vetor t → é:

t → = a , b , c = a , - a , 0 = a 1 , - 1,0

Ok, mas isso ainda não define a reta totalmente.

Passo 2

Por enquanto a equação vetorial da nossa reta t é essa aqui:

t :     T = x 0 , y 0 , z 0 + a 1 , - 1,0

t :   x = x 0 + a y = y 0 - a z = z 0

Falta definir esse ponto x 0 , y 0 , z 0 .

Se a nossa reta é perpendicular a r e s , então ela precisa tocar em cada uma dessas retas em pelo menos um ponto.

As formas paramétricas das outras retas, que foram dadas no enunciado, são:

r :   x = 2 + λ y = 1 + λ z = 2 + λ           &           s :   x = - 1 + μ y = μ z = 1 + 2 μ

Para saber em qual ponto dessas retas a nossa reta t encosta, temos que descobrir quais segmentos S R →   são paralelos ao vetor diretor da nossa reta:

S R → = R - S = 2 + λ ,   1 + λ , 2 + λ - - 1 + μ , μ , 1 + 2 μ

S R → = 2 + λ + 1 - μ ,     1 + λ - μ ,     2 + λ - 1 - 2 μ

Igualando isso ao vetor diretor α 1 , - 1,0 da nossa reta t , ficamos com um sistema:

2 + λ + 1 - μ = a 1 + λ - μ = - a 2 + λ - 1 - 2 μ = 0

Pela última equação:

2 + λ - 1 - 2 μ = 0

λ = 2 μ - 1

E somando a segunda e a primeira:

2 + λ + 1 - μ + 1 + λ - μ = a - a

2 λ + 4 - 2 μ = 0

μ = λ + 2

Substituindo com o resultado ali de cima, λ = 2 μ - 1 , ficamos com:

μ = 2 μ - 1 + 2

μ = - 1

E então:

- 1 = λ + 2         ⇒           λ = - 3

Passo 3

Ok, e pra que serve esse resultado? Agora a gente pode saber pelo menos um ponto que pertence à reta t . E assim dá pra completar a equação:

t :     T = x 0 , y 0 , z 0 + a 1 , - 1,0

Vimos que a reta t toca a reta s quando μ = - 1 , então:

s :   x = - 1 + μ y = μ z = 1 + 2 μ       ⇒           x 0 = - 2 y 0 = - 1 z 0 = - 1

Então a nossa reta é:

t :     T = - 2 , - 1 , - 1 + a ( 1 , - 1,0 )  

O plano que a gente está procurando sempre contém essa reta.

Vamos procurar a forma geral do feixe de planos que contém essa reta t . Pra isso o primeiro passo é encontrar as equações planares da reta t .

t :   x = - 2 + a y = - 1 - a z = - 1

Encontrar as equações planares significa encontrar dois planos cuja interseção dê a nossa reta.

A primeira equação é fácil, já está pronta ali na nossa parametrização:

z = - 1

z + 1 = 0

E a segunda dá pra encontrar isolando a nas duas primeiras e igualando:

x + 2 = - y - 1

x + y + 3 = 0

Lembrando que se as equações planares da reta são f x , y , z = 0 e g x , y , z = 0 , a equação do feixe de planos é:

α   f x , y , z + β   g x , y , z = 0

Então a equação do nosso feixe de planos é:

α x + y + 3 + β z + 1 = 0

Beleza, vamos em frente.

Passo 4

Agora só sobrou uma condição: o plano tem que estar a uma distância 1 da origem.

A fórmula para a distância entre um ponto P e o plano π é:

d P , π = A P → ∙ n → n →

Onde A é um ponto qualquer que pertence ao plano, e P , nesse caso, vai ser a origem:

d O , π = A 0 → ∙ n → n →

E se pegarmos o ponto - 2 , - 1 , - 1 da nossa reta t para calcular A O → :

A O → = 0,0 , 0 - - 2 , - 1 , - 1 = 2,1 , 1

E qual é a reta normal ao plano? Bom, se um plano tem essa equação aqui:

a x + b y + c z + d = 0

Então o vetor normal é n → = a , b , c . No nosso caso a equação é:

α x + y + 3 + β z + 1 = 0

α x + α y + β z + 3 α + β

Então o vetor normal é:

n → = α , α , β

Então:

A 0 → ∙ n → = 2,1 , 1 ∙ α , α , β = 2 α + α + β = 3 α + β

n → = α 2 + α 2 + β 2 = 2 α 2 + β 2

Ou seja, a distância é:

d O , π = 3 α + β 2 α 2 + β 2

Passo 5

Queremos d O , π = 1 , então:

1 = 3 α + β 2 α 2 + β 2

2 α 2 + β 2 = 3 α + β

Elevando os dois lados ao quadrado:

2 α 2 + β 2 = 9 α 2 + 6 α β + β 2

7 α 2 + 6 α β = 0

α 7 α + 6 β = 0

E as duas soluções para essa equação são:

α = 0 7 α + 6 β = 0

Substituindo a primeira na nossa equação do plano:

α x + y + 3 + β z + 1 = 0

β z + 1 = 0

Dividindo tudo por β ≠ 0 :

z + 1 = 0

Essa é a nossa primeira resposta! E na outra opção:

7 α + 6 β = 0

α = - 6 7 β

Então:

- 6 7 β x + y + 3 + β z + 1 = 0

Dividindo tudo por β mais uma vez, e multiplicando por 7 :

- 6 x - 6 y - 18 + 7 z + 7 = 0

6 x + 6 y - 7 z + 11 = 0

Ou seja, os planos que atendem a exigência do enunciado são:

π 1 :   z + 1 = 0

π 2 :   6 x + 6 y - 7 z + 11 = 0

Resolvido!

Resposta

As soluções são os planos z + 1 = 0 e 6 x + 6 y - 7 z + 11 = 0 .

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