Enunciado

Obtenha a equação geral da superfície esférica que contém o ponto P e é concêntrica com S : x 2 + y 2 + z 2 + x + 2 y - 2 z - 1 = 0 , nos casos:

( a ) P = ( 1,0 , 0 )

( b ) P = - 1 2 , - 1,1

Passo 1

Primeiramente vamos organizar a equação da esfera dada para a forma reduzida:

x 2 + x + y 2 + 2 y + z 2 - 2 z = 1

E uma forma de completar esses quadrados seria da seguinte forma:

x 2 + x + 1 4 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 - 2 z + 1 = 1 + 1 4 + 1 + 1

Então:

x + 1 2 2 + y + 1 2 + z - 1 2 = 13 4

Com isso temos a informação que o centro está em - 1 2 , - 1,1 e raio 13 2 ≈ 1.803 , então vamos colocar os pontos que nos foram fornecidos e analisar.

Passo 2

Para P = ( 1,0 , 0 ) nós teremos:

1 + 1 2 2 + 0 + 1 2 + 0 - 1 2 = 4.25 → ρ = 2.061

Isso nos dá uma esfera concêntrica a S igual a:

x + 1 2 2 + y + 1 2 + z - 1 2 = 17 4

E aplicando o ponto P = - 1 2 , - 1,1

- 1 2 + 1 2 2 + - 1 + 1 2 + 1 - 1 2 = 0

O que não nos dá nenhuma esfera, já que esse ponto seria o centro da esfera.

Resposta

a )   x + 1 2 2 + y + 1 2 + z - 1 2 = 17 4

b )   N ã o   e x i s t e   e s f e r a ,   P   é   o   c e n t r o   d e   S

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