Enunciado

Calcule m para que o plano π : x + y + z = m seja tangente a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = 12 , e determine o ponto de tangência.

Passo 1

O centro dessa superfície esférica encontra-se na origem e o vetor normal C T → encontra-se em ( k , k , k ) , portanto o ponto de tangência será:

C T → = T - C = k , k , k → T = ( k , k , k )

Aplicando esse ponto na esfera nós teremos:

k 2 + k 2 + k 2 = 12

3 k 2 = 12

k = ± 2

Aplicando k = 2 na equação do plano nós teremos 2 + 2 + 2 = 6

A figura dessa superfície com o plano pode ser visto abaixo.

Passo 2

E aplicando k = - 2 na equação do plano nós teremos m = - 6 e a figura desse plano pode ser vista abaixo.

Essa questão tem uma quebra de normalidade, por que estávamos ficando acostumados em encontrar o raio da esfera com a equação do plano lá, nesse ele te dá a equação da esfera toda bonitinha, mas não necessariamente o plano o vetor C T irá ficar daquela forma, ela estará proporcional com o tamanho do raio e isso que temos que ficar ligados.

Resposta

T = 2,2 , 2 ; m = 6

Ou

T = - 2 , - 2 , - 2 ; m = - 6

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