Enunciado

Obtenha equações da circunferência circunscrita ao triângulo PQR, nos casos:

  1. P = 3 , - 1 , - 2 , Q = 1,1 , - 2 e R = - 1,3 , 0 .
  2. P , Q e R são os pontos de interseção do plano π : 3 x + 2 y + 6 z = 6 com os eixos coordenados.

Passo 1

Bom, queremos determinar a equação de uma circunferência circunscrita a um triângulo P Q R . Isto é, uma circunferência que contêm os três vértices do triângulo.

Então, se queremos a equação de uma circunferência, precisamos de duas coisas: a equação de um plano que contém o triângulo e a equação de uma superfície esférica cujo centro é equidistante aos 3 vértices do triângulo.

Se conseguirmos obter as duas equações, obtemos a nossa circunferência.

Passo 2

Vamos começar então a resolver pela parte do nosso plano. Para obtermos o plano que contêm os pontos P , Q e R , vamos começar calculando os vetores P Q → e P R → , vetores diretores do plano. Portanto,

P Q → = Q - P = 1,1 , - 2 - 3 , - 1 , - 2 = - 2,2 , 0

P R → = R - P = - 1,3 , 0 - 3 , - 1 , - 2 = - 4,4 , 2

Para facilitar os cálculos futuros, vamos escolher dois vetores paralelos a P Q → e P R → , os quais serão obtidos ao multiplicarmos cada um deles por 1 / 2 . Portanto, temos os seguintes vetores diretores do plano: u → = - 1,1 , 0 e v → = - 2,2 , 1 .

O vetor normal do plano será:

n → = P Q → ∧ P R → = i j k - 1 1 0 - 2 2 1 = 1 i + 1 j + 0 k = 1,1 , 0

Portanto, o plano terá a forma:

π : x + y + d = 0

Para descobrirmos quem é d , basta substituir as coordenadas de algum ponto. Portanto, substituindo as coordenadas de R = - 1,3 , 0 , temos:

- 1 + 3 + d = 0

d = - 2

Portanto, o plano será:

π : x + y - 2 = 0

Passo 3

Agora vamos para a parte um pouco mais complicada: encontrar a superfície esférica.

Neste caso aqui, existem infinitas soluções. Basta fixar o critério de equidistância dos pontos.

Então, vamos fazer o seguinte. Vamos construir uma superfície esférica centrada no centro da circunferência que queremos obter e cujo raio é exatamente o raio da circunferência!

Ao sairmos do espaço pro plano, facilitamos as contas!

Portanto, vamos descobrir as coordenadas de um ponto C = x , y , z que pertencem a π . Portanto, satisfaz a equação do plano e temos:

x + y - 2 = 0

y = 2 - x

Logo, o ponto C tem coordenadas C = x , 2 - x , z . Agora, vamos descobrir os valores de x e z que são equidistantes de P , Q e R . Portanto,

d C , P = d C , Q = d C , R ⟹ d C , P = d C , Q d C , P = d C , R ⟹ d C , P 2 = d C , Q 2 d C , P 2 = d C , R 2

x - 3 2 + 3 - x 2 + z + 2 2 2 = x - 1 2 + 1 - x 2 + z + 2 2 2 x - 3 2 + 3 - x 2 + z + 2 2 2 = x + 1 2 + - 1 - x 2 + z 2 2

x - 3 2 + 3 - x 2 + z + 2 2 = x - 1 2 + 1 - x 2 + z + 2 2 x - 3 2 + 3 - x 2 + z + 2 2 = x + 1 2 + - 1 - x 2 + z 2

Vamos agora resolver a nossa primeira equação do sistema. Logo,

x - 3 2 + 3 - x 2 + z + 2 2 = x - 1 2 + 1 - x 2 + z + 2 2

x - 3 2 + 3 - x 2 = x - 1 2 + 1 - x 2

x 2 - 6 x + 9 + x 2 - 6 x + 9 = x 2 - 2 x + 1 + x 2 - 2 x + 1

- 12 x + 18 = - 4 x + 2

8 x = 16

x = 2

Portanto, já sabemos que o nosso ponto é C = x , 2 - x , z = 2,0 , z . Para descobrirmos quem é z , vamos substituir o valor de x = 2 na segunda equação do nosso sistema. Portanto,

x - 3 2 + 3 - x 2 + z + 2 2 = x + 1 2 + - 1 - x 2 + z 2

2 - 3 2 + 3 - 2 2 + z + 2 2 = 2 + 1 2 + - 1 - 2 2 + z 2

- 1 2 + 1 2 + z + 2 2 = 3 2 + - 3 2 + z 2

1 + 1 + z 2 + 4 z + 4 = 9 + 9 + z 2

4 z = 12

z = 3

Sendo assim, temos C = 2,0 , 3 .

Passo 4

Quase acabando! Já temos o centro da superfície esférica. Só nos falta seu raio.

O raio da superfície será o raio da circunferência. Portanto, nada mais é que:

ρ = σ = d C , P = d C , Q = d C , R

ρ = x - 3 2 + 3 - x 2 + z + 2 2

ρ = 2 - 3 2 + 3 - 2 2 + 3 + 2 2

ρ = - 1 2 + 1 2 + 5 2 = 27

Portanto, a superfície será:

S : x - 2 2 + y 2 + z - 3 2 = 27

E a equação da circunferência será:

Γ : x - 2 2 + y 2 + z - 3 2 = 27 x + y - 2 = 0

Resposta

Γ : x - 2 2 + y 2 + z - 3 2 = 27 x + y - 2 = 0

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