Enunciado

Sejam A = 1,2 , 7 e B = ( 1,1 , 4 ) . Nos casos do exercício anterior, obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos paralelos a A B com uma extremidade em r e outra em s . Descreva o lugar geométrico.

(b) r : X = 1,2 , 3 + λ 1,2 , 3 e s : x + y - z + 1 = 0 2 x - y = 4

Passo 1

(b) Vamos começar descobrindo quais são os segmentos que cruzam r e s ao mesmo tempo.

Bom, todos os pontos que estão em r obedecem essa relação aqui:

R = 1,2 , 3 + λ 1,2 , 3

E a reta s é um pouco mais complicada, porque é a solução de um sistema de duas equações:

s : x + y - z + 1 = 0 2 x - y = 4

Para resolver ele, vamos começar somando as duas equações:

x + y - z + 1 + 2 x - y = 4

3 x - z = 3         ⇒         z = 3 x - 3

Substituindo isso na primeira equação:

x + y - 3 x - 3 + 1 = 0

x + y - 3 x + 3 + 1 = 0

- 2 x + y + 4 = 0         ⇒ y = 2 x - 4

Então todos os pontos da reta s tem essa forma aqui:

S = x ,   2 x - 4 ,   3 x - 3

E a gente pode escrever a reta s com essa equação vetorial aqui:

s :       S = 0 ,   - 4 ,   - 3 + x 1,2 , 3

Ok, vamos em frente.

Passo 2

Bom, olha só o que aconteceu agora. A reta r é:

r : R = 1,2 , 3 + λ 1,2 , 3

E a reta s   é :

s :   S = 0 ,   - 4 ,   - 3 + x 1,2 , 3

As duas têm o mesmo vetor diretor! Isso quer dizer que elas são paralelas.

Mas vamos supor que você não tenha percebido isso. A ideia é resolver a questão só usando álgebra, sem exigir que você perceba coisas desse tipo.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar as retas ligando r e s que sejam paralelas ao segmento A B → :

A B → = B - A

A B → = 1 ,   1 ,   4 - 1 ,   2 ,   7 = 0 , - 1 , - 3

Como é a forma geral das retas que ligam r e s ?

R S → = S - R

R S → = 1,2 , 3 + λ 1,2 , 3 - 0 ,   - 4 ,   - 3 - x 1,2 , 3

R S → = 1 , 6 , 6 + λ - x , 2 λ - 2 x , 3 λ - 3 x

O que tem que acontecer para que um desses segmentos R S → seja paralelo a A B → ?

R S → = α A B →

Certo? Aqui o α é uma constante qualquer. Então vamos substituir:

1 , 6 , 6 + λ - x , 2 λ - 2 x , 3 λ - 3 x = α 0 , - 1 , - 3

1 + λ - x , 6 + 2 λ - 2 x , 6 + 3 λ - 3 x = ( 0 , - α , - 3 α )  

Dá pra transformar isso em um sistema de três equações:

1 + λ - x = 0 6 + 2 λ - 2 x = - α 6 + 3 λ - 3 x = - 3 α

Passo 4

Agora o próximo passo é resolver esse sistema. Vamos escrevê-lo em forma de matriz:

λ - x = - 1 2 λ - 2 x + α = - 6 3 λ - 3 x + 3 α = - 6

1 - 1 0 2 - 2 1 3 - 3 3 λ x α = 1 - 6 - 6

Então vamos tentar escalonar o sistema. Primeiro escrevemos dessa forma aqui:

1 - 1 0 2 - 2 1 3 - 3 3 1 - 6 - 6

Vamos multiplicar a primeira linha por - 2 e somar com a segunda:

1 - 1 0 2 + - 2 1 - 2 + - 2 - 1 1 + - 2 0 3 - 3 3 1 - 6 + - 2 1 - 6         ⇒           1 - 1 0 0 0 1 3 - 3 3 1 - 8 - 6

E multiplicar a primeira linha por - 3 e somar com a terceira:

            1 - 1 0 0 0 1 3 + - 3 1 - 3 + - 3 - 1 3 + - 3 0 1 - 8 - 6 + - 3 1     ⇒             1 - 1 0 0 0 1 0 0 3 1 - 8 - 9

Agora vamos multiplicar a segunda linha por - 3 e somar com a terceira:

1 - 1 0 0 0 1 0 0 3 + - 3 1 1 - 8 - 9   ⇒             1 - 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 8 - 9

Olhe para a última linha da matriz, ela diz o seguinte:

0 λ + 0 x + 0 α = - 9

Essa equação não tem solução possível, isso quer dizer que não existe solução para o nosso sistema.

Ou seja, nenhum dos segmentos R S → é paralelo ao segmento A B → .

Resposta

(b) Nenhum dos segmentos é paralelo a A B . O lugar geométrico é vazio.

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Obtenha uma equação vetorial da intersecção dos planos π 1 e π 2 , se esta não for vazia.a) π 1 : X = 1 ,- 2 ,0 + λ 1 ,0 ,- 1 + μ 0 ,0 ,- 1 ;π 2 : X = 1 ,0 ,3 + λ 1 ,2 ,0 + μ ( - 1 ,1 ,- 1 ) b) π 1 :
Determine a intersecção dos planos π 1 e π 2 . Quando se tratar de uma reta, descreva-a por equações paramétricas.a) π 1 : x + 2 y - z - 1 = 0π 2 : 2 x + y - z = 1 b) π 1 : z - 1 = 0π 2 : y - 2 x + 2
Obtenha a intersecção da reta r com o plano π .a) r : X = - 1 ,- 1 ,0 + λ 1 ,- 1 ,- 1π : x + y + z + 1 = 0 b) r : X = - 1 ,- 1 ,1 + λ 1 ,- 1 ,0 π : x + y + z + 1 = 0 c) r : x - 3 = y - 2 = z + 1 2 π :
Obtenha equações planares para as retasa) r : X = 1 ,9 ,4 + λ ( - 1 ,1 ,- 1 ) b) r : X = - 7 ,1 ,10 + λ ( - 1 ,0 ,1 ) c) r : X = 1 ,0 ,- 2 + λ ( - 2 ,1 ,- 3 )
Demonstre a proposição anterior utilizando a Proposição 14-21.