Enunciado

Sejam A = 1,2 , 7 e B = ( 1,1 , 4 ) . Nos casos do exercício anterior, obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos paralelos a A B com uma extremidade em r e outra em s . Descreva o lugar geométrico.

(c) r : X = 1,0 , 0 + λ - 1,0 , 1 e s : X = 0,0 , 1 + μ 2,1 , 1

Passo 1

(c) Vamos começar descobrindo quais são os segmentos que cruzam r e s ao mesmo tempo.

Bom, todos os pontos que estão em r obedecem essa relação aqui:

R = 1 , 0,0 + λ - 1,0 , 1

E todos os pontos que estão em s obedecem essa relação aqui:

S = 0,0 , 1 + μ 2,1 , 1

Então todos os pontos que vão de r até s tem essa forma geral aqui:

R S - = S - R

R S - = 0,0 , 1 + μ 2,1 , 1 - 1,0 , 0 - λ - 1,0 , 1

R S - = - 1 , 0,1 + 2 μ + λ ,   μ   ,   μ - λ

Passo 2

Nosso objetivo é encontrar as retas ligando r e s que sejam paralelas ao segmento A B → :

A B → = B - A

A B → = 1 ,   1 ,   4 - 1 ,   2 ,   7 = 0 , - 1 , - 3

A única forma de uma reta que liga r e s ser paralela ao segmento A B é:

α   A B - = R S -

α   0 , - 1 , - 3 = - 1,0 , 1 + 2 μ + λ ,   μ   ,   μ - λ

0 , - α , - 3 α = - 1 + 2 μ + λ , μ ,   1 + μ - λ

E dá pra transformar isso em um sistema de três equações:

0 = - 1 + 2 μ + λ - α = μ - 3 α = 1 + μ - λ

A primeira equação já dá um resultado direto:

μ = - α

Vamos substituir isso nas outras duas:

0 = - 1 - 2 α + λ - 3 α = 1 - α - λ

Reorganizando um pouco as duas equações:

λ = 2 α + 1 λ = 2 α + 1

As duas são iguais! Vamos resolver uma vez só:

λ = 2 α + 1

Ou seja, a solução é:

α = α μ = - α λ = 2 α + 1

Temos um grau de liberdade na solução!

Passo 3

Então tá, mas o que a gente quer fazer é encontrar os pontos médios dos segmentos que atendem a essa condição.

O nosso segmento R S - é:

R S - = - 1,0 , 1 + 2 μ + λ ,   μ   ,   μ - λ

Vamos escrever isso em função de α :

R S - = - 1,0 , 1 + 2 - α + ( 2 α + 1 ) ,   - α   ,   - α - ( 2 α + 1 )

R S - = - 1,0 , 1 + - 2 α + 2 α + 1 , - α , - 3 α - 1

R S - = - 1,0 , 1 + 1 , - α , - 3 α - 1

Vamos tirar as constantes de dentro daquele ultimo vetor:

R S - = - 1,0 , 1 + 1,0 , - 1 + α 0 , - 1 , - 3

E agora somando os dois pontos:

R S - = 0,0 , 0 + α 0 , - 1 , - 3

R S - = α 0 , - 1 , - 3

Beleza, essa é a forma geral do nosso segmento que passa por r e s , e é paralelo a A B - .

Passo 4

Mas ainda não acabou! Esse é um segmento que parte de um ponto R na reta r , então pra achar as coordenadas do ponto:

P = R + R S -

E pra encontrar as coordenadas do ponto médio (como o enunciado pediu):

P = R + 1 2 R S -

Então:

P = 1,0 , 0 + λ - 1,0 , 1 + 1 2 α 0 , - 1 , - 3

Mas λ = 2 α + 1 , então:

P = 1,0 , 0 + 2 α + 1 - 1,0 , 1 + 1 2 α 0 , - 1 , - 3

P = 1,0 , 0 + - 2 α - 1 ,   0   ,   2 α + 1 + α 0 , - 1 2 , - 3 2

Agora é só separar as constantes e os termos que dependem de α :

P = 1,0 , 0 + - 2 α , 0,2 α + ( - 1,0 , 1 ) + α 0 , - 1 2 , - 3 2

E então somar tudo:

P = 0,0 , 1 + - 2 α   ,   0 ,   2 α + α 0 , - 1 2 , - 3 2

P = 0,0 , 1 + - 2 α , - 1 2 α , 1 2 α

Colocando α em evidência:

P = 0,0 , 1 + α - 2 , - 1 2   , 1 2

Como α é uma constante arbitrária, a gente pode colocar um - 1 2 em evidência:

P = 0,0 , 1 + - 1 2 α 4,1   , - 1

E simplesmente “juntar” o ( - 1 / 2 ) no α :

P = 0,0 , 1 + α 4,1   , - 1

Então esse conjunto de pontos médios forma uma reta! Que tem essa equação vetorial aí de cima.

Resposta

Os pontos médios formam uma reta, que tem a equação vetorial P = 0 , 0,1 + α 4,1   , - 1 .

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Obtenha uma equação geral do plano π em cada caso.b) π contém A = ( 1 ,0 ,1 ) e B = ( 0 ,1 ,- 1 ) e é paralelo a C D , sendo C = ( 1 ,2 ,1 ) e D = ( 0 ,1 ,0 ) .
Obtenha uma equação geral do plano π em cada caso.c) π contém A = 1 ,0 ,1 ,B = 2 ,1 ,- 1 eC = ( 1 ,- 1 ,0 ) .
Obtenha uma equação geral do plano π em cada caso.e) π contém P = 1 ,0 ,- 1 e r : x - 1 2 = y 3 = 2 - z
Obtenha uma equação geral do plano π em cada caso.a) π contém A = ( 1 ,1 ,0 ) e B = ( 1 ,- 1 ,- 1 ) e é paralelo a u → = ( 2 ,1 ,0 )
Obtenha uma equação geral do plano π em cada caso.f) π contém P = 1 ,- 1 ,1 e r : X = 0 ,2 ,2 + λ ( 1 ,1 ,- 1 )