Enunciado

Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em r e outra em π e descreva-o geometricamente.

(a) π : x - 2 y - z = 1 r : X = 1,0 , 2 + λ 2 , - 1,4

(b) π : x + y + z = 0 r : X = 0,0 , 0 + λ 1 ,   1 ,   1

(c) π : x - 2 y - z = 0 r : X = 1,0 , 1 + λ 1,0 , 1

Passo 1

(a) Bom pessoal, para tentar entender esse problema, vamos dar uma olhada nas equações da reta e do plano.

O enunciado deu a equação vetorial da reta r :

X = 1,0 , 2 + λ 2 , - 1,4

Por essa equação, a gente pode determinar que o vetor diretor da reta é:

r → = 2 , - 1,4

E temos também a equação geral do plano:

x - 2 y - z - 1 = 0

Lembre que quando a equação geral do plano tem essa forma:

a x + b y + c z + d = 0

O vetor formado por a , b , c é o vetor normal ao plano. Então, olhando para a equação de cima, o vetor n ^ normal a π é:

n ^ = 1 , - 2 , - 1

Passo 2

Tá, usando essas informações, o que a gente consegue descobrir sobre a relação entre essa reta e esse plano?

Vamos fazer o produto escalar dos dois vetores:

r → ∙ n ^ = 1 , - 2 , - 1 ∙ 2 , - 1,4

r → ∙ n ^ = 1 2 + - 2 - 1 + - 1 4

r → ∙ n ^ = 2 + 2 - 4 = 0

O produto escalar é nulo. Então os vetores são perpendiculares:

E se o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano, então a reta é paralela ao plano.

Passo 3

Agora fica fácil resolver o problema geometricamente.

Se a gente pegar os pontos médios de todos os segmentos que ligam a reta ao plano:

Eles vão formar um plano entre a reta e o plano. Como esse novo plano tem que ser paralelo a π , a equação dele é:

x - 2 y - z + d = 0

Essa equação, conforme o d varia, é a equação do feixe de planos paralelos a π .

Ou seja, os coeficiente são os mesmos, mas a constante d tem que ser ajustada.

Passo 4

A ideia é que o novo plano esteja entre o plano π e a reta r .

Pela equação vetorial da reta:

X = 1,0 , 2 + λ 2 , - 1,4

Ela começa no ponto que tem coordenadas 1,0 , 2 .

Qual é o plano paralelo a π que contém esse ponto? É só substituir na equação geral:

x - 2 y - z + d = 0

1 - 2 0 - 2 + d = 0

d = 1

Beleza, então se o plano π é:

d π = - 1         ⇒           x - 2 y - z - 1 = 0

E o plano paralelo que passa pela reta r é:

d r = 1         ⇒           x - 2 y - z + 1 = 0

Então o novo plano que estamos procurando deve estar entre esse dois:

d = d π + d r 2 = - 1 + 1 2 = 0

Então o novo plano é:

d = 0         ⇒           x - 2 y - z + 0 = 0

x - 2 y - z = 0

Ok, esse é o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos que vão de r até π .

Resposta

O lugar geométrico é um plano paralelo ao plano π e à reta r . O plano tem equação geral x - 2 y - z = 0 e está situado entre r e π .

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