Enunciado

Uma pirâmide tem por base um retângulo ABCD e seu vértice P = 1,1 , 1 projeta-se ortogonalmente sobre o centro da base. A face PAB está contida em π 1 : x - y + z - 1 = 0 e a face PCD, em π 2 : x + y + z - 3 = 0 . Determine B, C e D, sabendo que A = 1,0 , 0 e que o ponto Q = 1 , - 1,0 pertence ao plano da base (SO).

Passo 1

Então, para resolvermos a questão, vamos começar determinando a interseção dos planos π 1 e π 2 . Mas qual o motivo de fazermos isto?

A interseção será uma reta, e esta reta será paralela aos lados A B e C D , pela base ser um retângulo. Conseguem visualizar agora?

Com uma reta, temos o seu vetor diretor. Então, podemos escrever a reta que passa por A e tem este vetor direito. Depois, vamos descobrir as coordenadas do ponto B , que pertence a esta reta, e satisfaz d B , P = d A , P .

Estão relação de distância retiramos exatamente da geometria da pirâmide. Como o seu vértice P (o pico da nossa pirâmide) projeta-se exatamente no centro da base, significa dizer que as arestas A P , B P , C P e D P possuem o mesmo comprimento!

E para descobrir as coordenadas de C e D ? Vai ser parecido como o procedimento anterior. Só que nos precisamos descobrir quem é esta reta antes. Para isto, vamos compor o plano da base, que contém o retângulo A B C D , e fazer a sua interseção com π 2 .

Sacaram? Podemos ir as contas então!

Passo 2

Vamos começar descobrindo a reta interseção de π 1 e π 2 . Portanto,

r : x - y + z - 1 = 0 x + y + z - 3 = 0 ⟹ r : x = y - z + 1 2 y = 2 ⟹ r : x = 2 - z y = 1

Portanto, se um ponto X = x , y , z pertence a reta, temos:

r : X = x , y , z

r : X = 2 - z , 1 , z

r : X = 2,1 , 0 + - z , 0 , z

r : X = 2,1 , 0 + z - 1,0 , 1

r : X = 2,1 , 0 + λ - 1,0 , 1

E obtemos uma reta com vetor diretor r → = - 1,0 , 1 .

Passo 3

Agora, vamos compor a reta que passa por A e tem como vetor diretor r → = - 1,0 , 1 . Esta reta será:

s : X = A + r →

s : X = 1,0 , 0 + λ - 1,0 , 1

Então, se um ponto X = x , y , z pertence a esta reta, ele pode ser reescrito por X = 1 - λ , 0 , λ . Agora, vamos descobrir qual o valor de λ que satisfaz:

d A , P = d X , P

Logo,

1 - 1 2 + 1 - 0 2 + 1 - 0 2 = 1 - 1 + λ 2 + 1 - 0 2 + 1 - λ 2

0 2 + 1 2 + 1 2 = λ 2 + 1 2 + 1 - λ 2

2 = λ 2 + 1 + 1 - 2 λ + λ 2

2 λ 2 - 2 λ = 0

2 λ λ - 1 = 0

A equação acima nos dá duas soluções: λ 1 = 0 e λ 2 = 1 . Para λ 1 = 0 , temos exatamente o ponto A = 1,0 , 0 . Já para a outra solução, temos B = 0,0 , 1 . Assim, descobrimos o nosso primeiro vértice.

Passo 4

Agora, vamos precisar determinar inicialmente o plano π que contém o quadrado A B C D . Para isto, vamos determinar o vetor normal ao plano, o qual contém os pontos A , B e Q . Então,

A B → = r → = - 1,0 , 1

A Q → = Q - A = 1 , - 1,0 - 1,0 , 0 = 0 , - 1,0

n → = A B → ∧ A Q → = i j k - 1 0 1 0 - 1 0 = 1,0 , 1

Portanto, o plano π possui o seguinte formato:

π : x + z + d = 0

Para descobrirmos o valor de d , basta substituirmos as coordenadas do ponto A . Então,

1 + d = 0

d = - 1

Portanto, temos o plano π : x + z - 1 = 0 .

Passo 5

Agora, vamos determinar a reta interseção entre o plano π , que descobrimos no final do Passo 4, e o plano π 2 . Portanto,

t : x + z - 1 = 0 x + y + z - 3 = 0 ⟹ t : x = 1 - z y = 2

Portanto, se um ponto X = x , y , z pertence a reta, temos:

t : X = x , y , z

t : X = 1 - z , 2 , z

t : X = 1 - λ , 2 , λ

O formato acima da reta já nos é suficiente para finalizarmos a questão. Queremos descobrir quais os valores de λ tais que d A , P = d X , P .

É exatamente o mesmo procedimento que fizemos anteriormente, para descobrir B . A diferença é que, agora, iremos obter dois pontos novos. Eles serão C e D (não importa trocarmos as coordenadas de C com D , até porque a questão não nos restringiu.

Sendo assim, temos:

d A , P = d X , P

1 - 1 2 + 1 - 0 2 + 1 - 0 2 = 1 - 1 + λ 2 + 1 - 2 2 + 1 - λ 2

0 2 + 1 2 + 1 2 = λ 2 + 1 2 + 1 - λ 2

2 = λ 2 + 1 + 1 - 2 λ + λ 2

2 λ 2 - 2 λ = 0

2 λ λ - 1 = 0

Incrivelmente, é a mesma equação do segundo grau que obtivemos anteriormente. Portanto, para λ 1 = 0 , temos C = 1,2 , 0 . Já para λ 2 = 1 , temos D = 0,2 , 1 .

Resposta

B = 0,0 , 1

C = 1,2 , 0

D = 0,2 , 1

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