Enunciado

A, B, C e D são vértices de um trapézio isósceles de bases AB e CD e diagonais AC e BD (SO).

  1. Determine A, supondo que B = 1 , - 1,2 , C = 3 , - 2,3 e D = 3,1 , 0 ;
  2. Determine C e D , supondo que A = 2,2 , - 1 e B = 0,3 , 0 , que o lado BC tenha medida 6 e que o ponto de encontro das diagonais seja H = 1,2 , 0

Passo 1

Para resolvermos esta questão, precisamos lembrar das relações geométricas de um trapézio isósceles. Ele terá lados A B e C D paralalelos, as diagonais A C e B D possuirão o mesmo comprimento, assim como os lados A D e B C .

Então, para resolvermos a questão, precisaremos trabalhar bastante com as relações de distância de ponto a ponto. Mas antes disto, aonde está localizado o ponto C e D ?

Nós não sabemos a localização do ponto H , interseção das duas diagonais? Então, quer dizer que o ponto H pertence tanto a diagonal A C quando a diagonal B D .

Então, podemos escrever as coordenadas do ponto C da seguinte maneira:

A C → = λ A H →

C = A + λ A H →

C = 2,2 , - 1 + λ - 1 , 0 , 1

C = 2 - λ , 2 , - 1 + λ

Então, existe algum valor de λ que satisfará a relação acima. Da mesma forma, podemos escrever o ponto D da seguinte maneira:

B D → = μ B H →

D = B + μ B H →

D = 0,3 , 0 + μ 1 , - 1,0

D = μ , 3 - μ , 0

Então, existe algum valor de μ que satisfará a relação acima. O nosso trabalho será descobrir os valores de λ e μ que satisfazem as condições de distância.

Passo 2

Vamos começar trabalhando com o ponto C . Sabemos que a aresta B C tem comprimento 6 . Portanto, existe algum valor de λ que satisfará:

d B , C = 6

2 - λ 2 + - 1 2 + - 1 + λ 2 = 6

λ 2 - 4 λ + 4 + 1 + λ 2 - 2 λ + 1 = 6

2 λ 2 - 6 λ + 6 = 6

2 λ 2 - 6 λ + 6 = 6

2 λ λ - 3 = 0

Se λ 1 = 0 , teremos exatamente o ponto A , o que não é a solução que buscamos. Então, a outra solução da equação acima, λ 2 = 3 , é a solução que buscamos. Sendo assim, o ponto C é dado por:

C = - 1,2 , 2

Passo 3

Agora, vamos repetir todo o procedimento do passo anterior só que para o ponto D . Sabemos que a aresta A D tem comprimento 6 (pois é um triângulo isósceles). Portanto, existe algum valor de μ que satisfará:

d A , D = 6

μ - 2 2 + 1 - μ 2 + 1 2 = 6

μ 2 - 4 μ + 4 + μ 2 - 2 μ + 1 + 1 = 6

2 μ 2 - 6 μ + 6 = 6

2 μ 2 - 6 μ + 6 = 6

2 μ μ - 3 = 0

Se μ 1 = 0 , teremos exatamente o ponto B , o que não é a solução que buscamos. Então, a outra solução da equação acima, μ 2 = 3 , é a solução que buscamos. Sendo assim, o ponto D é dado por:

D = 3,0 , 0

Resposta

C = - 1,2 , 2

D = 3,0 , 0

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