Enunciado

Seja A = 1,4 , 0 e B = 0,1 , - 2 . Nos casos do exercício anterior, obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos paralelos a A B com uma extremidade em r e outra em π . Descreva o lugar geométrico

(c) π : x - 2 y - z = 0 r : X = 1,0 , 1 + λ 1,0 , 1

Passo 1

Vamos começar relembrando o que a gente tinha visto no exercício anterior. Nós começamos descobrindo a posição relativa entre a reta e o plano.

A equação vetorial da reta r é:

X = 1,0 , 1 + λ 1,0 , 1

E para podermos comparar melhor, vamos escrever a equação vetorial do plano também:

x - 2 y - z = 0         ⇒           x = x 1 y = y 1 z = x 1 - 2 y 1

Então um ponto P qualquer no plano é:

P = x 1 1,0 , 1 + y 1 0,1 , - 2

Logo de cara você já deve ter percebido uma coisa: o vetor diretor da reta é igual a um dos vetores diretores do plano! Então a reta é paralela ao plano.

E então verificamos se ela também estava contida no plano:

Igualamos as equações vetoriais da reta e do plano:

1,0 , 1 + λ 1,0 , 1 = x 1 1,0 , 1 + y 1 0,1 , - 2

1 + λ - x 1   1,0 , 1 = y 1 0,1 , - 2

E vimos que para qualquer ponto na reta, definido por λ , existe um par x 1 , y 1 que dá aquele mesmo ponto a partir da equação do plano:

1 + λ - x 1 = 0 y 1 = 0         ⇒           λ = x 1 - 1 y 1 = 0

Então a reta está condida no plano, e a situação é mais ou menos essa aqui:

Passo 2

Agora temos que descobrir como esse plano se relaciona com o segmento A B - que foi dado no enunciado:

A B - = B - A

A B - = 0,1 , - 2 - 1,4 , 0 = - 1 , - 3 , - 2

Bom, vamos descobrir o vetor normal ao plano. Para isso temos que pegar os coeficientes da equação geral do plano:

x - 2 y - z = 0           ⇒           a = 1 b = - 2 z = - 1

Então:

n → = 1 ,   - 2 ,   - 1

Esse vetor não é paralelo a A B - , porque não existe nenhuma solução para essa equação:

n → = α   A B -         ⇒           1 , - 2 , - 1 = α - 1 , - 3 , - 2

Isso quer dizer que A B - não é perpendicular ao plano. Se fosse, teria que ser paralelo a n → .

Passo 3

Agora vamos verificar se A B - é paralelo ao plano. Para isso A B → teria que ser linearmente dependente com os vetores diretores do plano:

α A B - = x 1 1,0 , 1 + y 1 0,1 , - 2

α - 1 , - 3 , - 2 = x 1 1,0 , 1 + y 1 0,1 , - 2

Isso equivale a esse sistema aqui:

- α = x 1 - 3 α = y 1 - 2 α = x 1 - 2 y 1

Substituindo as duas primeiras equações na terceira:

- 2 α = - α - 2 - 3 α

- 2 α = 5 α

α = 0

E então a única solução é α = x 1 = y 1 = 0 , e então o conjunto de vetores é linearmente independente.

Bom, se A B - não é paralelo ao plano e nem perpendicular a ele, então ele só pode ser transversal ao plano. Algo parecido com isso:

Passo 4

Bom, qualquer vetor que começa em π e termina em r vai estar contido no plano, certo? Afinal, o próprio r está no plano.

Isso quer dizer que todos os segmentos que o enunciado menciona são paralelos ao plano. E por isso nunca podem ser paralelos ao A B - , que é transversal ao plano.

Mas tem uma exceção a isso: Os segmentos que começam e terminam no mesmo ponto sobre a reta r, que está toda contida no plano π .

Sim, são segmentos com comprimento zero! Mas tecnicamente são paralelos ao segmento A B - , e a qualquer outro segmento também!

Juntos, todos esses segmentos vão nos dar a reta r inteira:

X = 1,0 , 1 + λ 1,0 , 1

Então esse é o lugar geométrico que atende à condição do enunciado,

Resposta

O lugar geométrico é a própria reta r : X = 1,0 , 1 + λ 1,0 , 1 .

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Mostre que a reta r : x = 3 t + 1 y = - 2 t - 1 z = t é paralela ao plano π : x + 2 y + z + 3 = 0 .
Nos problemas 47 e 48, determinar as equações paramétricas da reta interseção dos planos: π 1 : 2 x + y - 2 = 0π 2 : z = 3
Nos problemas 47 e 48, determinar as equações paramétricas da reta interseção dos planos: π 1 : 2 x - y - 3 z - 5 = 0π 2 : x + y - z - 3 = 0
Determinar o ponto de interseção das retas: r : 3 x + y + 6 z + 13 = 0 9 x + 3 y + 5 z = 0e s : x = 1 4 x + y - z - 9 = 0
Nos problemas 49 e 51, determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π nos seguintes casos: r : x = 2 y - 3 = 2 z - 3 3e π : 2 x - y + 3 z - 9 = 0