Enunciado

Obtenha equações da reta perpendicular ao plano π = 10 x - 2 y + 4 z - 1 = 0 , que contém um diâmetro da superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 6 y + z - 11 = 0 .

Passo 1

Bom pessoal, o primeiro passo é melhorar essa equação da esfera. Para isso vamos usar o método de completar quadrados:

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 6 y + z - 11 = 0

Dá uma olhada nos termos com x por exemplo:

x 2 + 2 x

Parecem muito com um produto notável que a gente conhece:

x + 1 2 = x 2 + 2 x + 1

Então se somarmos 1 dos dois lados:

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 6 y + z - 11 + 1 = 1

x 2 + 2 x + 1 + y 2 + z 2 - 6 y + z - 11 = 1

x + 1 2 + y 2 + z 2 - 6 y + z - 11 = 1

Agora é só fazer a mesma coisa com os outros:

y - 3 2 = y 2 - 6 y + 9

Então vamos somar 9 dos dois lados:

x + 1 2 + y 2 + z 2 - 6 y + z - 11 + 9 = 1 + 9

x + 1 2 + y - 3 2 + z 2 + z - 11 = 10

E para o z :

z + 1 2 2 = z 2 + z + 1 4

Então vamos somar 1 4 dos dois lados:

x + 1 2 + y - 3 2 + z + 1 2 2 - 11 = 10 + 1 4

x + 1 2 + y - 3 2 + z + 1 2 2 = 10 + 1 4 + 11

x + 1 2 + y - 3 2 + z + 1 2 2 = 85 4

Ok, agora fica mais fácil de interpretar o problema.

Passo 2

Se a reta que estamos procurando contém um diâmetro dessa superfície esférica, então ela passa pelo centro da esfera.

Se a equação de uma esfera é:

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = r 2

Então o centro da esfera é x 0 , y 0 , z 0 . Olhando para a nossa equação:

x + 1 2 + y - 3 2 + z + 1 2 2 = 85 4

O centro C é:

C = - 1 ,   3   , - 1 2

Ok, então a nossa reta passa por esse ponto.

Passo 3

Outra informação que o enunciado deu é que a reta é perpendicular a esse plano:

10 x - 2 y + 4 z - 1 = 0

Quando temos uma equação geral de plano com essa forma aqui:

a x + b y + c z + d = 0

O vetor normal ao plano é:

n → = a , b , c

Então o vetor normal ao plano do enunciado é:

n → = 10 , - 2,4

E se uma reta é perpendicular ao plano então ela é paralela ao vetor normal n ^ .

Passo 4

Então a nossa reta é paralela a esse vetor:

n → = 10 , - 2,4

E contém esse ponto:

C = - 1 ,   3   , - 1 2

Ou seja, a equação vetorial da reta é:

X = C + α   n →

X = - 1 ,   3   , - 1 2 + α 10 , - 2,4

Já que α é um parâmetro arbitrário, podemos colocar um 1 / 2 em evidência ali:

X = - 1 ,   3   , - 1 2 + 1 2 α 5 , - 1 , 2

E simplesmente trocar α → α / 2 , então:

X = - 1 ,   3   , - 1 2 + α 5 , - 1,2

Pronto, essa é a equação da reta perpendicular ao plano π e que contém um diâmetro da esfera.

Resposta

A equação da reta é X = - 1 ,   3   , - 1 2 + α 5 , - 1,2 .

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